Borne inférieure

[mehdi-128]

Bonsoir,

Dans une démo j'ai lu :
Soit un intervalle et une fonction strictement croissante.

Soit une borne de . Prenons la borne inférieure de . Alors est la borne inférieure de .

Je ne comprends pas comment on sait que la borne inférieure existe.

Et pour la suite je sais d'après le cours que est un intervalle mais vu que je sais pas si c'est un segment je vois pas comment montrer que est la borne inférieure de .

[pascal16]

ex : la fonction identité de R dans R
sans passer des R barre, on parle dans le vide.
voir le dernier exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure

[mehdi-128]

Mais si

C'est pas maladroit de noter la borne inférieure de alors que ?

[aviateur]

Bonsoir,
Dans une démo j'ai lu :
Soit un intervalle et une fonction strictement croissante.
Et pour la suite je sais d'après le cours que est un intervalle mais vu que je sais pas si c'est un segment je vois pas comment montrer que est la borne inférieure de .

Quand on s'attaque à l'analyse, il faut tout de même faire attention. Les deux trucs en rouge,t'en es sûr?

[aviateur]

Non mais, quand je lis tes questions en détails je me demande si tu réfléchis.
"soit x_0 la borne inf de I et soit y=f(x_0)." C'est donc que f est définie en x_0, donc x_0 appartient à I.

Et puis tu dis "je ne comprend pas comment on sait que x_0 est la borne inférieure de I." Et bien c'est une hypothèse donc une hypothèse c'est une hypothèse et rien d'autre.

Maintenant je vais te donner un exercice de collège. Soit un triangle rectangle en A et blablabla"
et imagine qu'un élève te dise je ne comprends pas pourquoi le triangle est rectangle. !!!!

A moins que l'on soit dans un autre contexte que \R (R barre et encore que ça ne change pas grand chose) tes questions n'ont pas de sens. Et puis, il y a longtemps que tu dois savoir que des fonctions non continues ça existent.

maintenant f(x0) appartient à f(I) est c'est un minorant de f(I) alors faut pas chercher midi à 14 heures.

[mehdi-128]

Oui excusez moi j'ai posé une question idiot, x_0 est une borne de I donc forcément l'intervalle I est semi ouvert et x_0 est un réel.
Pour une fonction strictement croissante f(x_0) est la borne inférieure de f(I) ah oui c'est évident, il suffit de faire le tableau de variation de la fonction.

[mehdi-128]

J'avais 2 cas dans une démo abstraite :

Le premier étant (intérieur)

Le deuxième : est une borne de

Mais l'intérieur d'un ouvert étant lui même ça veut dire que quand est une borne inférieure l'intervalle est toujours de la forme ?

[aviateur]

Je préfère pas répondre il y a de l'incohérence
On n'a pas le texte exact. Et puis c'est quoi une demo abstraite

[mehdi-128]

Ok Aviateur je mets l'énoncé complet. J'ai demandé sur un autre forum de l'aide mais personne n'a réussi à trouver la réponse. Ça fait une journée que je suis dessus ma tête va exploser.

Je suis dans une démonstration pour montrer le théorème suivant mais je pense qu'il y a une petite erreur :

Théorème :
Soit un intervalle. La bijection réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur I est continue sur .

On a démontré juste avant (pas de souci pour cette démo) que : la bijection réciproque de tout fonction continue sur et strictement monotone sur est strictement monotone sur et de même sens de variation que .

Supposons que est strictement croissante sur . Fixons Soit

Nous devons montrer que est continue soit :



Notons :

Premier cas :

Dans ce cas,

Notons :

Ainsi :



Pas compris comment on peut passer à la croissante de f car on sait pas si et sont des éléments de !

Il faudrait peut être prendre : ? C'est une proposition de ma part...

Notons et




Comment on a-t-on le droit d'écrire : ? On ne sait pas si appartient à l'ensemble de définition de ...


Ainsi :



On a obtenu :

On sait que : et sont dans Comme f est continue sur alors est un intervalle et donc :



Si on pose : on obtient :



Ainsi on a :



C'est-à-dire :



2ème cas :

est une borne de . (le cas où est la borne supérieure de s'adapte facilement). Notons que comme est strictement croissante sur , est la borne inférieure de .

Dans ce cas :
Je pense que c'est la caractérisation de la borne inférieure et au lieu du pour tout alpha strictement positif on met "il existe" car on veut rester dans .

Notons ainsi :



Idem je prendrais

La suite de la démo est analogue au 1er cas donc si je comprends le premier cas je comprendrai celui-ci.

[aviateur]

Bon, il faudrait arrêter de procéder comme tu fais. Au début de ton post tu ne dis pas que f est continue.
et tu balances on sait que f(I) est intervalle!!!! Alors que la continuité est essentielle. Tu crois qu'on est devin?
Ici tu donne une démo avec des petits problème de rédaction mais bref! C'est tout de même plus clair.

Et c'est vrai que peut ne pas être dans I. C'est le genre d'erreur que des personnes expérimentées peuvent faire. Et alors ça nuit à la généralité? On remplace par Y a pas de quoi en faire un plat et il vaut mieux passer à autre chose.

[mehdi-128]

Oui j'ai oublié le plus important l'hypothèse continue dans mon premier post