Borne inferieure

[barbu23]

Bonjour à tous,

Je bloque sur l'exo suivant :
Soit un espace vectoriel normé et un sous espace fermé de .
Montrer que :


Voiçi comment je procède :
On pose :

:


Je ne sais pas quoi faire après ??? :hum:
Est ce que :
Merci d'avance :happy3:

[busard_des_roseaux]

peut être utiliser

si le corps de base n'est pas de caractéristique 2

[arnaud32]

tu poses tout simplement x+y+z = x-a + y-b +a+b+z
ensuite tu utilises l'inegalite triangulaire de la norrme:
||x+y+z|| =< ||x-a|| + ||y-b|| +||a+b+z||

pour le moment, tu n'as fais aucune hypothese sur a et b.
Le fait que H soit fermé te permet de considérer 'a' dans H tel que ||x-a|| = inf { ||x-u||, u dans H}
et la même chose pour b tel que ||y-b|| = inf { ||y-u||, u dans H}.

Reste à utiliser le fait que H est un sous espace vectoriel de E.
a et b etant dans H, a+b est dans H, il en va de même de -(a+b).
avec z = -(a+b) tu as: ||x+y+z|| =< ||x-a|| + ||y-b||

et de conclure:
inf { ||x+y+z||, z dans H} =< ||x-a|| + ||y-b|| = inf { ||x-u||, u dans H} + inf { ||y-u||, u dans H}.

[barbu23]

Merci beaucoup. :happy3: