Bonsoir. Marrant, ce problème.
Je sais prouver plein de choses sur une telle fonction :
Si on fait y=0, on a pour tout x :
+f(x-0)=2f(x)f(0))
, donc comme f n'est pas identiquement nulle, on obtient f(0)=1.
Si on fait maintenant x=0, on a pour tout y :
+f(-y)=2f(y))
et f est paire. Comme f s'annule au moins une fois sur
, f s'annule pour un réel positif, donc E est non vide, et comme E est minoré, E a une borne inférieure.
D'autre part, si x est un élément de E, on a pour tout y :
+f(x-y)=0)
donc la courbe de f admet pour centre de symétrie le point (x ; 0).
La courbe admet aussi comme centre de symétrie le point (-x, 0). Comme la composée de deux symétries est une translation, la courbe de f est donc périodique (on pense immédiatement aux fonctions cosinus, qui vérifient le relation)
Pour montrer que f(a)=0, c'est vrai que si on avait f continue, ce serait OK : a étant la borne inférieure de E, il y a une suite d'éléments de E qui tend vers a, donc pas de pb. Sans la continuité, je n'ai pas d'idée.
A +
