Eléments inversibles

[Kirby]

Bonsoir ,
Est-ce- que quelqu'un peut m'expliquer les éléments inversibles dans les LCI....
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Soit * une loi interne sur un ensemble E possédant un élément neutre e . On dit l’élément x de E est inversible pour la loi * s’il existe un élément x’ tel que :
x * x’ = x’ * x =e
Je veux dire illustrer concrètement ceci ....

Merci

[hdci]

Bonjour,

Exemple dans les réels :

Soit une loi interne sur l'ensemble possédant comme élément neutre 1.

On dit que l'élément est inversible pour la loi s'il existe un élément tel que

[pascal16]

soit E les rotations du plan autour d'un point P
l'inverse d'une rotation autour d'un point P d'un angle a est la rotation autour de P d'un angle -a
et on retourne bien au départ quelque soit l'ordre

soit E l'ensemble des projections sur une droite de plan
Soit la projection sur l'axe x,elle associe à P(x,y) -> P(x,0)
mais d'un point P(x,0), je ne sais pas définir d'où je suis parti (incapacité de connaitre y), il n'y a pas de transformation inverse (et il n'y a pas d'élément neutre en plus)


dans Z, 2 n'a pas d'inverse, alors que 1, élément neutre de la multiplication y est

[Kirby]

Merci pour ces réponses cependant pourrait-on m'illustrer cela avec des exemples ....
C'est à dire avec des nombres ceci :

Bonjour,

Exemple dans les réels :

Soit une loi interne sur l'ensemble possédant comme élément neutre 1.

On dit que l'élément est inversible pour la loi s'il existe un élément tel que

[Lostounet]

Salut,

C'est très simple.
Prend l'exemple de la multiplication sur les réels. C'est bien une loi de composition interne, ayant pour élément neutre 1.
Pour tout x, si tu fais x*1 c'est pareil que 1*x on trouve x.

Un élément x inversible pour la multiplication, s'il existe x' tel que x*x'=x'*x=1

Par exemple si x=5, alors en prenant x'=1/5 on a bien x*x' = x'*x = 1

Vois-tu un réel qui n'admet pas un inverse pour cette loi?

[Ben314]

Merci pour ces réponses cependant pourrait-on m'illustrer cela avec des exemples ....
C'est à dire avec des nombres ceci :

Les "exemples avec des nombres", normalement, tu les as vu au début du collège (ainsi que le "pourquoi" cette notion de symétrique est aussi importante) :
- Pour résoudre l'équation X+7=12, ce qu'on fait, c'est d'ajouter -7 des deux cotés ce qui donne X+7+(-7)=12+(-7) c'est à dire X+0=12+(-7) soit X=12+(-7) qui est la solution de l'équation.
Et si tu réfléchi 15 seconde pour faire le lien avec le nouveau vocabulaire qu'on vient de t'introduire, ben tu constate que le X+0=X de la fin, il dit que le nombre 0 est l'élément neutre de la loi + sur R et que le -7 qu'on a ajouté des deux coté de façon à avoir ensuite 7+(-7)=0, c'est le symétrique de 7 pour la loi + (en général appelé "opposé" de 7).
- Et c'est très exactement la même démarche pour résoudre X7=12 où on multiplie par 1/7 des deux cotés de façon à avoir X7(1/7)=12(1/7) c'est à dire X1=12(1/7) et donc X=12(1/7) qui est la solution de l'équation.
De nouveau, le processus marche du fait que que le nombre 1 est l'élément neutre de la loi x sur R et que (1/7) est le symétrique de 7 pour la loi x (en général appelé "inverse" de 7).

[Pseuda]

Bonjour,

Un autre exemple avec les matrices inversibles : est inversible ssi il existe une matrice telle que (élément neutre).