[Terminale S] Limite d'une suite

[2beliou]

Bonjour,

Je reprends mes études à la rentrée 2018 en Fac de science après quelques années passé dans la vie active. Je revois donc les programmes des matières qui me seront nécessaires pour la rentrée. Je suis actuellement sur le programme de mathématiques de terminale S. Je bloque sur deux exercices sur les limites de suites :


Exercice 1

Soit la suite u définie par u0 = 5 et un+1 = √(3un + 1) (la racine englobe 3un + 1)

1. Montrer que (un) est décroissante.
2. Montrer que la suite (un) est minorée.
3. En déduire que la suite (un) est convergente.


Exercice 2

Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et un+1 = √(un + 5) (la racine englobe un + 5)

1. Montrer que cette suite est croissante.
2. Montrer que pour tout entier n, 0 ≤ un ≤ 3. En d´éduire que la suite (un) est convergente.
3. Déterminer la limite l de la suite (un).


J'aimerais qu'on ne donne pas la solution, juste qu'on me guide dans un premier temps, pour essayer de comprendre la démarche et le raisonnement à suivre.

Je vous remercie par avance de votre aide.

[pascal16]

Soit la suite u définie par u0 = 5 et un+1 = √(3un + 1) (la racine englobe 3un + 1)

1. Montrer que (un) est décroissante.
perso, je dirais " on peut remarquer que Un>1 pour tout n, donc je peux élever au carré pour comparer"

[Pseuda]

Bonjour,

1. Tu peux aussi calculer et remarquer que la fonction telle que est croissante. Ceci veut dire que si , alors , etc...

Donc une récurrence peut faire l'affaire.

[2beliou]

Merci de vos réponses !

Je pense avoir réussi à répondre la question 1 de l'exercice 1 (et donc pouvoir faire également la question 1 de l'exercice 2).
Je vous montre ma réponse :


Je vais montrer que est décroissante par récurrence.

Initialisation : Je calcule
donc

Hérédité : Je suppose que
où , est croissante
alors
donc

Conclusion est décroissante

[pascal16]

la rédaction me laisse supposer que tu n'as peut être pas compris la subtilité :
f croissante => f conserve l'ordre

on suppose Un>Un+1
donc
3U(n) > 3 U(n+1)
donc
3U(n) +1 > 3 U(n+1)+ 1
comme la fonction racine est croissante sur R+ (et que les termes sont positifs)
√(3U(n) +1) > √(3 U(n+1)+ 1 )
soit
Un+1 > Un+2

on se sert de la relation directe avec
Un+1 =f(Un)
et g(x) = f(x)-x, g positive

[aviateur]

Bonjour
Je trouve deux erreurs dans le raisonnement.
La première erreur est un non-dit sauf (excepté que dans une réponse ce n'est pas dit mais sous-entendu). C'est disons une petite omission . En effet si je considère un exercice presque identique mais avec et cela devrait faire comprendre tout de même qu'il y a une précision à faire.
La deuxième erreur est pour moi plus importante: la phrase " et f croissante implique est fausse. "

[Pseuda]

Bonjour,

Il faut montrer effectivement que la suite est bien définie : facile avec pour tout .

Il faut surtout montrer que est croissante (pas fait), ou bien utiliser la méthode de @pascal qui évite de le faire.

[aviateur]

Surtout ce que je veux dire que f " et f croissante implique "
( et non pas > )

[pascal16]

je rectifie :

la rédaction me laisse supposer que tu n'as peut être pas compris la subtilité :
f croissante => f conserve l'ordre
f strictement croissante => f conserve l'ordre au sens stricte

on suppose Un>Un+1
donc
3U(n) > 3 U(n+1)
donc
3U(n) +1 > 3 U(n+1)+ 1
comme la fonction racine est strictement croissante sur R+ (et que les termes sont positifs), elle conserve l'ordre au sens stricte.
√(3U(n) +1) > √(3 U(n+1)+ 1 )
soit
Un+1 > Un+2

on se sert de la relation directe avec
Un+1 =f(Un)
et g(x) = f(x)-x, g positive (ou strictement positive)

[pascal16]

NB : pour la suite
(Un croissante ou Un strictement croissante) et majorée => Un converge
est vrai