DM sur les suites pour mardi 21!

[Manon222629]

Bonjour j'ai un DM à faire pour mardi et je n'y arrive pas...
Voici le sujet:

on considère la suite (un) définie par u0=6 et, pour tout n E N:
un+1=(3un)/(n+2)

1. (a) Calculer les termes u1, u2 et u3.
(b) Démontrer que (un) est une suite de termes positifs.

2. Démontrer que, pour tout entier n>=2, on a : u(n+1))=<(3/4)*un

3. Démontrer que, pour tout entier n >=2, on a :
un=<16*(3/4)^n

4. Que peut-on conclure pour la convergence éventuelle de la suite (un)? Justifiez avec soin.

5. Soit (vn) la suite géométrique de premier terme 16 et de raison 3/4 .
Pour tout n E N, on pose
Sn = v0 + v1 + ... +vn
et Tn = u0 + u1 + ... +un.

(a) Démontrer que la suite (Sn) est majorée par 64.
(b) En déduire que la suite (Tn) est-elle aussi majorée, puis qu'elle converge.


Où j'en suis:

1. (a) u1=9 ; u2=9 et u3= 6.75
(b) je pense qu'il faut appliquer le principe de récurrence mais je sais pas comment, je sais pas qu'elle est la proposition a valider...

2. j'ai fait un encandrement:
n>=2
n+2>=4
1/n+2=<1/4
(3un)/(n+2)=<(3/4)un

3. Je ne sais pas du tout comment faire
4. Je ne sais pas non plus
5. (a) je ne sais pas trop, je pense qu'il faut appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique mais après....
(b) je sais pas du tout....

Merci d'avance pour votre aide

[pascal16]

1(a) : ok
1(b) : Quand c'est trop simple, on a du mal à voir ce qu'in demande :
initialisation : Uo est positif.
supposons qu'au rang n Un soit positive, alors on a Un+1 = (3Un)/(n+2) positif comme produit et division de termes tous positifs.

2 : ok

3 : soit une suite An = 6 et An+1 = (3/4) An
An n'est-elle pas géométrique de raison 3/4 et de premier terme 6 ?
On connait donc son terme général : An= ...

4 que connait-on comme résultat sur les suite géométriques en fonction de la raison ?

[Manon222629]

cela donnerait
Montrons par récurrence que le proposition est vrai pour tout n E N:
Si un est positifs alors un+1 est positif

Initialisation:
u0=9 et u1= 9 donc la proposition est vraie au rang 0.

Hérédité:
Soit p E N:
on suppose que la proposition est vraie au rang p, c'est à dire que up et up+1 sont positifs


est-ce bon jusque là? ou ai-je mal compris?

[Manon222629]

3) je n'ai pas compris votre raisonnement

[pascal16]

Initialisation:
u0=9 et u1= 9 donc la proposition est vraie au rang 0.

Hérédité:
Soit p E N:
on suppose que la proposition est vraie au rang p, c'est à dire que up et up+1 sont positifs

là, tu fais pour une récurrence double, quand Un+2 = f(Un+1, Un)
quand Un+1 = f(Un).
tu vérifie que c'est vrai au départ (1 terme suffit en récurrence simple)
tu supposes une chose vraie pour Un, la relation de récurrence doit te permettre e démontrer qu'elle est vraie au rang n+1.
Elle alors vrai au départ et pour tout nombre plus grand que celui de départ, donc pour tout n si on a commencé à 0.
[edit] : j'étais resté sur la question 2.

[pascal16]

3) soit une suite An telle que A2 = 9 et An+1 = (3/4) An [edit : corrigé]
quelle est la limite de An ?
ne vient-t-on pas de démontrer que Un<An ?

Un est alors une suite positive et....

[Manon222629]

mais le premier terme c'est 16 non?

[pascal16]

(3) Tu as raison, la récurrence qui dit que Un+1<= (3/4) Un est pour n>=2

A2=U2=9, c'est mieux
An+1 = (3/4)An
Comme il y a un décalage de 2, quand tu développes le terme générale de An, par miracle, 16 apparait !

(4) tu as , pour n>= 2 :

0<Un<= An

An est géométrique de raison strictement inférieur à 1 en valeur absolue son terme général est : ... et sa limité est : ...

un p'tit coup de tableur :

[Manon222629]

au départ j'étais plus partie sur un autre raisonnement par récurrence
est-ce possible également?

[pascal16]

attention, commence à n=2 pour avoir le droite de te servir du fait que Un+1<(3/4)Un

initialisation : pour n=2 -> vrai
hérédité : supposons la relation vraie au rang n c'est à dire un=<16*(3/4)^n
or on vient de démonter que, pour n >=2, on a :
u(n+1))=<(3/4)*un
remplace Un par ce que tu sais, fais passer le "*3/4" dans l'exposant, conclue.

[Manon222629]

je ne comprends pas le "ce que tu sais" qu'il faut pour remplacer un...

[pascal16]

u(n+1))=<(3/4)*un*
par hr, u(n+1))=<(3/4)*16*(3/4)^n
soit u(n+1))=<16*(3/4)^(n+1)
on prouve la relation au rang n+1.

[Manon222629]

est-ce ça:

up =< 16* (3/4)^p
Or d'après la question 2 : u(p+1) =< (3/4)*up
donc u(p+1)=<(3/4)*(16*(3/4)^p)
ainsi u(p+1)=< 16* (3/4)^(p+1)

[Manon222629]

mercii

[Manon222629]

du coup pour les questions 4 et 5 je n'y arrive pas

[pascal16]

5. (a) je ne sais pas trop, je pense qu'il faut appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique mais après....

oui, et après tu passes à la limite.
une suite croissante, si elle admet un limite, a chacun de ses termes plus petits que la limite.

[pascal16]

Sn = v0 + v1 + ... +vn
et Tn = u0 + u1 + ... +un.

0< Tn<= Sn <=64

Tn croissante et majorée par 64 ......

[Manon222629]

mais comment on justifie que Tn=<Sn ?

[pascal16]

Soit (vn) la suite géométrique de premier terme 16 et de raison 3/4 .
Uo<=Vo (à vérifier)
U1<=V1 (à vérifier)
U2<=V2 (V2 = 9, c'était notre initialisation, c'était la base de ma suite An)
Un<Vn (c'est ce qu'on vient de démontrer par récurrence)
par somme on a
(U0+...+Un)<=(V0+...+Vn)

donc Tn<=Sn
de plus, on a démontré que Sn<= 16, d'où cqfd

[Manon222629]

et du coup pour la 4 il faut répondre quoi?