DIVISEURS COMMUNS (Terminale S Spé)

[quentinlao]

Bonsoir !
Je me fais quelques exercices en spé maths sur le chapitre de divisibilité (car j'ai quelques difficultés). Voici l'exercice qui me pose problème :

m et n sont deux entiers relatifs.
On pose a = 10n + m.

1) Démontrez que si n - 11m est divisible par 37, alors a est divisible par 37.
2) La réciproque de cette proposition est-elle vraie ?

A vrai dire, il n'y a que la deuxième question qui coince. On peut conjecturer qu'elle est juste mais je ne vois vraiment pas comment le démontrer.

Merci !

[FLBP]

Bonsoir,

Oui la réciproque est correcte car :

si avec

Si on remplace dans on obtient


donc



Cordialement.

[quentinlao]

Merci beaucoup ! Je ne connaissais pas cette méthode. Il est toujours bon d'apprendre

[Lostounet]

Cet exercice est intéressant car il permet (en particulier) de dire si un nombre a est multiple de 37.

Prenons un exemple a=148. On le met sous la forme 10n+m(division euclidienne par 10 par exemple)
148=10*14+8 donc n=14 et m=8

Comme n-11m=14-88=74=37*2 est divisible par 37 alors a = 148 l'est aussi.

Et puis si le nombre est très gros, on peut réitérer le processus!
a = 4773 est il multiple de 37?
a= 477×10+3
n=477 et m=3
n-11m=477-33=444

Or 444=10*44+4
n-11m=44-44=0

Donc 444 est multiple de 37.
Donc 4773 est multiple de 37

[Ben314]

Salut,
Ca revient plus ou moins au même, mais perso., j'aurais écrit que, si a = 10n + m et b=n-11m alors a-10b=(10n+m)-10(n-11m)=111m=3x37m
(évidement je calcule a-10b de façon à éliminer les n. On peut à la place calculer 11a+b de façon à éliminer les m)
Ensuite,
- Si 37 divise b alors il divise 10b+3x37m qui vaut a
- Réciproquement, si 37 divise a alors il divise a-3x37m qui vaut 10b et, comme 37 est premier avec 10, c'est qu'il divise b.

On peut aussi remarquer que la même preuve montre que 3 divise a ssi 3 divise b et que 111 divise a ssi 111 divise b.