DM Terminale S Fonction exponentielle

[DragonArgentetOr]

Bonjour à tous, j'ai un DM à rendre, mais je bloque à la question 2)a, voilà l'énoncé de l'exercice 1:

Exercice 1 :
Les tangentes à la courbe de la fonction exponentielle
Soit C la courbe représentative de la fonction exponentielle : x→ exp(x) (que l’on pourra noter e^x)
dans un repère (O,i,j)
1) Déterminer l’équation de la tangente à C au point A d’abscisse 2.
Vérifier qu’elle passe par le point de coordonnées (1 ; 0).
2) Soit A un point quelconque de C d’abscisse a. Soit TA la tangente à la courbe C au point A.
a) Déterminer les coordonnées du point M, point d’intersection de la droite TA avec l’axe des abscisses.
b) Soit H le projeté orthogonal de A sur l’axe des abscisses.
Démontrer que la distance MH est constante, indépendante de a. MH est appelée « sous-tangente ».
3) Soit A un point quelconque de C d’abscisse a.Soit TA la tangente à la courbe C au point A.
En étudiant les variations d’une fonction d bien choisie, démontrer que la courbe C est située au-dessus de toutes ses tangentes.

J'ai trouvé:

1) y=e²(x-2)+e²
=xe²-2e²+e²
=xe²-e²

Vérifions qu'elle passe par le point de coordonnées (1;0)

y=e²-e²
y=0


2) a) A(a; f(a))
y= e^a(x-a)+e^a
y= xe^a-ae^a+e^a
Pour x=0

0e^a-ae^a+e^a=0
-ae^a+e^a=0

Et c'est là que je bloque, parce que je ne sais pas comment trouver a ni comment additionner des exponentielles, merci d'avance de me débloquer s'il vous plaît parce que j'ai beau chercher, je ne trouve pas comment résoudre cette équation ou alors je me suis trompé quelque part.

[zygomatique]

salut

1/ y = xe^2 - e^2 = (x - 1)e^2

il est donc évident que y(1) = 0


l'équation de la tangente est y = (x + 1 - a)e^a

les coordonnées du point M sont ...?
les coordonnées du point H sont ... ?

pourquoi écris-tu : pour x = 0 ....

[DragonArgentetOr]

j'ai écrit pour x=0, afin de trouver les coordonnées de M

[laetidom]

j'ai écrit pour x=0, afin de trouver les coordonnées de M

Salut,





Pour trouver M, c'est l'intersection avec l'axe des abscisses d'équation y = 0 ...

.

[DragonArgentetOr]

donc il faut que je résolves ?:
y=(x+1-a)e^a
y=0

[laetidom]

donc il faut que je résolves ?:
y=(x+1-a)e^a
y=0

Oui et que vaut x alors ?

[DragonArgentetOr]

Bah, c'est là le problème, je ne sais pas le résoudre car il y a deux inconnues, a et x.

[zygomatique]

non la seule inconnue est x !!

a est un paramètre : c'est l'abscisse du point A .... epictou !!!

[laetidom]

Donc, d'après ce que te dit zygomatique, tu trouves x = . . . ?

Car tu pars de y=(x+1-a)e^a = 0 (produit de 2 facteurs = 0)

===> 2 cas : x+1-a = 0 et e^a = 0 ====> Que dit-on dans les 2 cas ? . . .


Comprends-tu ?


nota : a est un paramètre, " c'est comme si " tu remplaçais a par 1, 12, 50 ou 1000 . . .

[DragonArgentetOr]

donc : x=a-1 et a=0 car e^a=e^b équivaut à a=b

[laetidom]

donc : x=a-1 et a=0 car e^a=e^b équivaut à a=b

Moi j'aurais dit et

vérif : si A est le point de la question 1) donc que a = 2 alors = a - 1 = 2 - 1 = 1 et on retombe sur M(1 ; 0)

Comprends-tu ?

[DragonArgentetOr]

ok, moi j'aurais mis ça en conclusion après le calcul, par contre pour la question suivante, c'est quoi un projeté orthogonal?

[laetidom]

ok, moi j'aurais mis ça en conclusion après le calcul, par contre pour la question suivante, c'est quoi un projeté orthogonal?

Si tu souhaites la tangente à C en A d'abscisse x=2, le projeté orthogonal H de A sur l'axe des abscisses est le point d'intersection entre la verticale passant par A et l'axe des abscisses.


Je viens de prendre 2 cas et MH est constant : avec A (x = 2) on a MH = 2-1=1 et avec A (x = - 1) on a MH = -1-(-2)= -1+2 = 1



maintenant il faut le démontrer . . .


Comprends-tu ?

[laetidom]

Salut,

Je t'aide pour la démonstration de la 2b), c'est facile ! . . . :

Maintenant que tu as bien visualisé sur mon schéma précédent la longueur MH, que connais-tu ? :
tu sais que = a et au 2a) tu as appris que = a - 1 donc maintenant tu peux nous dire ce que vaut la longueur MH . . .

MH = . . . ? (indépendante de a ? . . .)

[DragonArgentetOr]

J'ai réussi en montrant que h avait pour abscisse, l'abscisse de A, soit a, et M a pour abscisse a-1. Donc:
MH= a-(a-1)
MH=a-a+1
MH= 1
On constate qu'indépendamment de a, MH est toujours constante, elle vaut 1.

[laetidom]

J'ai réussi en montrant que h avait pour abscisse, l'abscisse de A, soit a, et M a pour abscisse a-1. Donc:
MH= a-(a-1)
MH=a-a+1
MH= 1
On constate qu'indépendamment de a, MH est toujours constante, elle vaut 1.

Excellent !

[DragonArgentetOr]

Je vous remercie laetidom et zygomatique pour votre aide.

[laetidom]

Je vous remercie laetidom et zygomatique pour votre aide.

Ce fût avec plaisir ! La 3) c'est ok ?



Si la courbure est vers le haut ça veut dire que les tangentes sont dessous . . .

Sinon étudier le signe de la différence entre l'équation de C et celle de la tangente en x . . . si le signe est > 0 ça signifie que C est au-dessus de ses tangentes . . .

[DragonArgentetOr]

Pas totalement, mais je n'ai plus le temps, car je m'y suis près très tard à cause de soucis d'organisation cette semaine.

[laetidom]

Pas totalement, mais je n'ai plus le temps, car je m'y suis près très tard à cause de soucis d'organisation cette semaine.

Je t'ai donné quelques éléments de réflexion ci-avant . . . Bon courage !