Résolution d'équations

[fana01]

Bonjour,

J'ai un problème avec un exercice de mon DM.
Voici la consigne :
On considère la fonction P définie sur R par : P(x)=2x^3+7x^2+2x-3.
P(x) peut s'écrire : P(x)= (x+1)(ax^2+bx+c).
Déterminer les trois réels a, b et c et résoudre P(x)=0.

Ça, je l'ai fait. Je trouve que a=2, b=5 et c=-3.
Les solutions de P(x)=0 sont : {-3;-1;1/2}.

En déduire la résolution dans R de chacune des équations suivantes :
1) 2e^6x+7e^4x+2e^2x-3=0
2) ln(4-x^2)+ln(2x+7)=ln(10x+25)

C'est à ces questions-là que je bloque.
Je crois qu'il faut changer l'inconnue, mais si ici je pose t=e^x, que dois-je faire du 6 ?
Idem pour ln, si je pose t=ln x, que dois-je faire du 4 ?
J'espère que je suis assez clair.

Merci d'avance pour vos conseils.

[Pseuda]

Binsoir,

Pour la 1), pose t = e^(2x).

Pour la 2), pense à ln a + ln b = ln (ab).

[siger]

bonjour

1)
on pose X= e^2x d'ou l'equation 1/ devient P(X) =0 deja resolue

2)
ln (a) +ln(b) = ln (a*b)
ln(a*b) = ln(c)
d'ou a*b -c=0
......
et on retrouve P(x)=0

[fana01]

Tout d'abord merci beaucoup pour vos réponses.

Pour le 1), j'arrive bien à 2t^3+7t^2+2t-3=0 mais après je cale.
Selon mon cours, t=-3 ⇔e^2x=-3 mais après je mets quoi ?

L'exemple de mon cours est le suivant : t=1⇔e^x=1⇔e^x=e^ln1⇔x=ln1=0
Mais je ne peux pas mettre ln-3, donc il y a forcément une chose que je ne fais pas.

Pour le 2), je comprends la logique mais s'il faut que je fasse (4-x^2)(2x+7), j'arrive à 8x+28-2x^3-7x^2, ce qui à la fin me donne P(x) avec tous les signes des membres inversés.

[Pseuda]

1) l'équation e^(2x)=-3 a-t-elle des solutions ?

2) et alors P(x)=0 et -P(x)=0 , qu'en penses-tu ?

[fana01]

Je suis désolé, c'est sûrement évident que je ne vois pas.
1) Il faut trouver un e au membre de droite, mais à mon avis e^2x n'est pas égal à e^-3.
2) Je ne suis pas sûr, ça revient au même ? Et si oui, comment l'explique-t-on ?

[Lostounet]

Pour le 1) il faut te souvenir que prendre l'exponentielle d'un nombre (quel qu'il soit) donne toujours un nombre strictement positif.

La question n'est pas de savoir si "exp(2x) est toujours égal à -3 "
mais de savoir pour quels x on aurait exp(2x)=-3 (si de tels x existent)

[fana01]

Alors, avec vos conseils, j'ai relu le cours et refait quelques exercices et voici à quoi j'en suis arrivé :

1) Il n'y a pas de solution pour t=-3 et t =-1 car une exponentielle est strictement positif.
Je trouve pour t=1/2⇔e^2x=1/2⇔e^2x=e^ln1/2⇔2x=ln1/2⇔x=ln(1/2)/2=ln1/4.

2) Si en changeant l'inconnue, j'arrive à -P(x) = -2x^3-7x^2-2x+3
Est-ce que ça veut dire que P(x) = 2x^3+7^2+2x-3 ?

Si oui, et comme on résout l'équation sans changement d'inconnue, cela revient à résoudre une équation de ln.
Si c'est le cas il faut commencer par chercher le domaine de définition. J'ai trouvé ]-2;2[.
Ce qui m'amène à trouver, S=-1;1/2.

Est-ce correct ?

[siger]

bonsoir

2x=ln1/2⇔x=ln(1/2)/2=ln1/4.

attention x = (1/2) ln (1/2) n'est pas egal
à ln (1/4) = -2ln (2)
ni a (1/4)*ln(1) = 0

[fana01]

Je ne suis pas sûr de comprendre.
Pouvez-vous m'expliquez où est mon erreur, svp ?
Quelle est la moitié de ln(1/2) ?

[siger]

bonjour

revois les proprietes de la fonction ln(x)
a* ln (x) = ln (x^ a) et non ln(x*a)

la moitie de a est (1/2)*a
donc la moitie de ln(1/2) = (1/2) ln(1/2)
et avec ln(1/2) = -ln(2)
(1/2) ln (1/2) = -(1/2)ln (2) = - ln ((2^(1/2) )) = -ln (V(2))
.....

[fana01]

Bonjour,

Merci de prendre le temps de me répondre.
Je comprends jusqu'à - ln (2^(1/2) ) mais après je suis perdu.
Comment on passe de 2^1/2 à racine de 2 ?

Dans mon cours, j'ai ln de racine de a =1/2 ln a.
SI c'est cette propriété-là, je ne comprends pas comment l'utiliser dans mon exemple.

Merci d'avance.

[siger]

re

tu sembles faché avec les logarithmes et les puissances fractionnaires.....!

ln (a^b) = b * ln(a)
ln (a/b) = ln(a)-ln(b) d'ou ln (1/a) = ln(1) - ln (a) = -ln(a)
a ^(1/2) = V(a)

(1/2)ln (1/2) = -(1/2) ln (2) =- ln (2^(1/2)) =- ln (V(2))
ecrire
-ln (V(2)) est equivalent a (1/2)ln (1/2)

[fana01]

Merci pour votre aide, je pense avoir compris cette fois-ci.
SI ce n'est pas abusé, pouvez-vous me dire si le reste de mes réponses sont bonnes ?

Merci d'avance.

[siger]

re

oui, c'est bon