Determinant

[Anonyme]

Quelqu'un sait-il comment calculer le determinant de la matrice carree
d'ordre n dont le coefficient d'indice (i,j) est pgcd(i,j) ?

Merci.

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
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[Anonyme]

Nicolas FRANCOIS a écrit :
> Quelqu'un sait-il comment calculer le determinant de la matrice carree
> d'ordre n dont le coefficient d'indice (i,j) est pgcd(i,j) ?

La formule finale est très moche, si mes souvenirs de colle sont bons
(et ils ne le sont pas comme va le prouver la suite).

Je me rappelle qu'il faut partir d'exemples simples (matrice 2x2 puis
3x3 et 4x4) et chercher les opérations sur les lignes (ou les colones
selon te préférence, la matrice étant symétrique) pour se ramener à un
déterminant trivialement calculable (triangulaire).
À partir de là, on se rend compte qu'il convient en fait de faire la
somme des lignes qui précèdent la ième et dont le numéro est multiple de
i (ou premier avec i ??? je ne sais plus vraiment - l'idée est
là-dedans). Cela se montre rigoureusement en appliquant un résultat
obtenu dans Z/nZ qui fait intervenir l'indicatrice d'Euler (genre "la
somme des diviseurs de n est égale à..." ou quelque chose d'approchant).
On remue un peu et on conclut.

Bon courage,

--
Gabriel, désolé de ne pas pouvoir filer une seule indication précise
mais qui se dit qu'il y a peut-être assez de mots-clé pour donner un
idée (ou faire tourner google ?)...

[Anonyme]

"Nicolas FRANCOIS" a écrit

> Quelqu'un sait-il comment calculer le determinant de la matrice carree
> d'ordre n dont le coefficient d'indice (i,j) est pgcd(i,j) ?
>

Soient M la matrice des pgcd, A = (a_ij) avec a_ij = 1 si j divise i et
= 0 sinon, A' la transposée de A et B la matrice diagonale dont les
termes sont phi(1), phi(2), ..., phi(n) (où phi est l'indicateur
d'Euler).

Alors ABA' = M.
(Utiliser le fait que somme(phi(k), k|s) = s.)

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

"Nicolas FRANCOIS" a écrit
dans le message de news: 41aa3c60$0$19789$636a15ce@news.free.fr...
> Quelqu'un sait-il comment calculer le determinant de la matrice carree
> d'ordre n dont le coefficient d'indice (i,j) est pgcd(i,j) ?
>
> Merci.
>
> \bye

C'est fait dans le Méthodix Algèbre !!