Determinant et matrice orthogonale

[Anonyme]

Bonjour,

On sait que pour une matrice M orthogonale, les valeurs propres de M sont -1 et
1.

Dans un cas particulier j'ai montré que -1 n'est pas valeur propre de M, donc
sa seule valeur propre est 1, comment puis je montrer que det(M)=+1 ?

merci

[Anonyme]

> On sait que pour une matrice M orthogonale, les valeurs propres de M
sont -1 et
> 1.
>
> Dans un cas particulier j'ai montré que -1 n'est pas valeur propre de M,
donc
> sa seule valeur propre est 1, comment puis je montrer que det(M)=+1 ?

Dans une base orthonormée, il y aura des blocs 1x1 valant 1, et des blocs
2x2 de rotations (et pas de blocs 2x2 de réflexions, car sinon -1 serait
valeur propre). Or, le déterminant d'une rotation vaut 1.

--
Maxi

[Anonyme]

Wenceslas wrote:
> Bonjour,
>
> On sait que pour une matrice M orthogonale, les valeurs propres de M sont -1 et
> 1.
>
> Dans un cas particulier j'ai montré que -1 n'est pas valeur propre de M, donc
> sa seule valeur propre est 1, comment puis je montrer que det(M)=+1 ?
>
> merci
>
>
>
Le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres
je crois...ou encore la somme des valeurs propres d'une matrice vaut sa
trace

[Anonyme]

> Le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres
> je crois...ou encore la somme des valeurs propres d'une matrice vaut sa
> trace

Oui mais... Si elle est trigonalisable!
En effet, ici, on peut trigonaliser dans C, mais alors il peut y avoir des
valeur propres complexes qui apparaissent. Mais comme les valeurs propres
non réelles sont deux à deux conjuguées et de module 1, le produit vaut bien
1.
Mais dans ce genre d'argument il faut faire gaffe au fait qu'un
endomorphisme de R^n peut très bien avoir moins de n valeurs propres, même
comptées avec multiplicités.

--
Maxi

[Anonyme]

Dans l'article ,
"Maxi" a écrit:
[color=green]
> > Le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres
> > je crois...ou encore la somme des valeurs propres d'une matrice vaut sa
> > trace
>
> Oui mais... Si elle est trigonalisable!....[/color]


Mais oui... si elle est une matrice quelconque!

Soient a_1, a_2, ..., a_n les valeurs propres de M.

Donc (x - a_1)(x - a_2)....((x - a_n) = dét(xI - M).

Substituer x = 0:

((-1)^n)(a_1)(a_2)....(a_n) = dét(- M) = ((-1)^n).dét(M)

(a_1)(a_2)....(a_n) = dét(M).

Ken Pledger.

[Anonyme]

Maxi a écrit:[color=green]
>>Le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres
>>je crois...ou encore la somme des valeurs propres d'une matrice vaut sa
>>trace
>
>
> Oui mais... Si elle est trigonalisable!
> En effet, ici, on peut trigonaliser dans C, mais alors il peut y avoir des
> valeur propres complexes qui apparaissent. Mais comme les valeurs propres
> non réelles sont deux à deux conjuguées et de module 1, le produit vaut bien
> 1.
> Mais dans ce genre d'argument il faut faire gaffe au fait qu'un
> endomorphisme de R^n peut très bien avoir moins de n valeurs propres, même
> comptées avec multiplicités.
>[/color]
Un exemple, STP ????

[Anonyme]

Maxi wrote:[color=green]
>>Le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres
>>je crois...ou encore la somme des valeurs propres d'une matrice vaut sa
>>trace
>
>
> Oui mais... Si elle est trigonalisable![/color]
[snip je n'ais pas lu plus loin]

Bon d'accord c'est vrai que j'aurais dû être précis dans ma formulation :
'Si le polynôme caractéristique de A est scindé sur IK alors le
déterminant vaut le produit des valeurs propres'

Il suffit pour démontrer ça d'écrire ton polynôme d'une part sous forme
scindée de produits de (l_i-X) et d'autre part de développer
(mentalement) le déterminant des vecteurs colonnes de A-l*I et
d'identifier les termes constants...c'est évident....

Soit M_1, M_2, ....M_n les vecteurs colonnes de ta matrice et E_1,
E_2,....En celles de In (la matrice identité d'ordre n). Notons P_M le
polynôme caractéristique de M : développons le

P_M(l)=det(M-l*E_1,M-l*E_2,...,M-l*E_n)
=det(-l*E_1,...-l*E_n)+sum(det(-l*E_1,...,M_i,...,-l*E_n),i=1..n)+...
+ sum(det(A_1,...,-l*E_i,...,A_n),i=1..n)+ det(A_1,...,A_n)
donc :
P_M(l)=(-1)^n*l^n + (-1)^(n-1)*Tr(A)*l^(n-1)+...-Tr(com(A))*l+det(A)

les deux premiers et deux derniers termes de ce développements sont
simples à expliciter, les autres beaucoup moins.

comme d'autre part, P_M est scindé, en notant l_i les valeurs propres
(avec leur multiplicité), on a :
P_M(X)=product(l_i-X,i=1..n)

donc en identifiant le terme constant dans les deux expressions du même
polynôme, on a bien det(A)=product(l_i)


Si on est sur IC donc ton polynôme caractéristique est scindé...dans ton
cas précis, quel est le corps de base ?


> Mais dans ce genre d'argument il faut faire gaffe au fait qu'un
> endomorphisme de R^n peut très bien avoir moins de n valeurs propres, même
> comptées avec multiplicités.

Oulla...je suis pas sûr d'avoir compris (honnêtement)...tu viens de dire
que le polynôme caractéristique d'un endomorphisme de IR^n peut être de
degré strictement inférieur à n ????!!! il y a vingt ans ça valait la
guillotine !! (voir le calcul juste au dessus)

[Anonyme]

Maxi wrote:
[color=green]
>>Le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres
>>je crois...ou encore la somme des valeurs propres d'une matrice vaut sa
>>trace
>
>
> Oui mais... Si elle est trigonalisable!
> En effet, ici, on peut trigonaliser dans C, mais alors il peut y avoir des
> valeur propres complexes qui apparaissent. Mais comme les valeurs propres
> non réelles sont deux à deux conjuguées et de module 1, le produit vaut bien
> 1.
> Mais dans ce genre d'argument il faut faire gaffe au fait qu'un
> endomorphisme de R^n peut très bien avoir moins de n valeurs propres, même
> comptées avec multiplicités.
>[/color]
Bon d'accord c'est vrai que j'aurais dû être précis dans ma formulation :
'Si le polynôme caractéristique de A est scindé sur IK alors le
déterminant vaut le produit des valeurs propres'

Il suffit pour démontrer ça d'écrire ton polynôme d'une part sous forme
scindée de produits de (l_i-X) et d'autre part de développer
(mentalement) le déterminant des vecteurs colonnes de A-l*I et
d'identifier les termes constants...c'est évident....

Soit M_1, M_2, ....M_n les vecteurs colonnes de ta matrice et E_1,
E_2,....En celles de In (la matrice identité d'ordre n). Notons P_M le
polynôme caractéristique de M : développons le

P_M(l)=det(M-l*E_1,M-l*E_2,...,M-l*E_n)
=det(-l*E_1,...-l*E_n)+sum(det(-l*E_1,...,M_i,...,-l*E_n),i=1..n)+...
+ sum(det(A_1,...,-l*E_i,...,A_n),i=1..n)+ det(A_1,...,A_n)
donc :
P_M(l)=(-1)^n*l^n + (-1)^(n-1)*Tr(A)*l^(n-1)+...-Tr(com(A))*l+det(A)

les deux premiers et deux derniers termes de ce développements sont
simples à expliciter, les autres beaucoup moins.

comme d'autre part, P_M est scindé, en notant l_i les valeurs propres
(avec leur multiplicité), on a :
P_M(X)=product(l_i-X,i=1..n)

donc en identifiant le terme constant dans les deux expressions du même
polynôme, on a bien det(A)=product(l_i)


Si on est sur IC le polynôme caractéristique est scindé...dans ton cas
précis, quel est le corps de base ?

[Anonyme]

> > Mais dans ce genre d'argument il faut faire gaffe au fait qu'un[color=green]
> > endomorphisme de R^n peut très bien avoir moins de n valeurs propres,[/color]
même[color=green]
> > comptées avec multiplicités.
> >
> Un exemple, STP ????[/color]


Une rotation dans le plan, distincte de + ou - l'identité, n'a pas de valeur
propre réelle.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi a écrit:[color=green][color=darkred]
>>>Mais dans ce genre d'argument il faut faire gaffe au fait qu'un
>>>endomorphisme de R^n peut très bien avoir moins de n valeurs propres,
>>[/color]
> même
>[color=darkred]
>>>comptées avec multiplicités.
>>>
>>
>>Un exemple, STP ????[/color]
>
>
>
> Une rotation dans le plan, distincte de + ou - l'identité, n'a pas de valeur
> propre réelle.[/color]

Ce n'est pas un exemple de ce que tu affirmes : relis toi ?