Calcul de determinant n*n

[Anonyme]

Bonjour à tous, je bloque complètement sur le calcul de ce determinant, j'ai
tout essayé: combinaisons sur les lignes et colonnes, recherche de relation de
recurence...mais niet!!
Voici la "bête":

M= 0 2 3........n
1 0 3........n
1 2 0 4......n
. .
. .
. n
1 2..........0


Merci de votre aide!!!

Nb: Les petits points horizontaux signifient une suite de nombres allant jusqu'à
n. 1.....n signifie 1 2 3 4 jusqu'à n
Les petits points verticuax signifient que les nombres sont identiques.
--
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[Anonyme]

[0 2 3.....n]
[1 0 3.....n]
[1 2 0.....n]


[1 2.......0]
--
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[Anonyme]

Le 11 Feb 2004 18:34:48 GMT, zaratoustra a écrit :

>
>Bonjour à tous, je bloque complètement sur le calcul de ce determinant, j'ai
>tout essayé: combinaisons sur les lignes et colonnes, recherche de relation de
>recurence...mais niet!!
>Voici la "bête":
>
>M= 0 2 3........n
> 1 0 3........n
> 1 2 0 4......n
> . .
> . .
> . n
> 1 2..........0
>
>
>Merci de votre aide!!!

Je n'ai pas reflechi plus que ca mais une remarque vient a l'esprit :
ce determinant est un multiple entier de n!. En effet, tu peux sortir
un facteur k de la k-ieme colonne pour k=1,...,n et ton determinant
vaut alors n! multiplie par le determinant de la matrice S_n dont
les coefficients valent tous 1 sauf ceux sur la diagonale, qui valent
0.

Et quelques essais montrent det(S_n) vaut apparemment (-1)^n * (n-1).
Donc le determinant initial vaut probablement (-1)^n * (n-1) * n!.
A prouver !

[Anonyme]

> [0 2 3.....n]
> [1 0 3.....n]
> [1 2 0.....n]
>
>
> [1 2.......0]
> --

Tu sors du n!, et après t'as une matrice circulante (pour calculer son
déterminant de façon systématique faut se ramener à un déterminant de
Vandermonde en multipliant par une matrice contenant les racines nième de
l'unité disposées correctement (google is your friend)).

[Anonyme]

Le Sat, 14 Feb 2004 01:31:05 +0100, tabegam a
écrit :

>Le 11 Feb 2004 18:34:48 GMT, zaratoustra a écrit :
>[color=green]
>>
>>Bonjour à tous, je bloque complètement sur le calcul de ce determinant, j'ai
>>tout essayé: combinaisons sur les lignes et colonnes, recherche de relation de
>>recurence...mais niet!!
>>Voici la "bête":
>>
>>M= 0 2 3........n
>> 1 0 3........n
>> 1 2 0 4......n
>> . .
>> . .
>> . n
>> 1 2..........0
>>
>>
>>Merci de votre aide!!!
>
>Je n'ai pas reflechi plus que ca mais une remarque vient a l'esprit :
>ce determinant est un multiple entier de n!. En effet, tu peux sortir
>un facteur k de la k-ieme colonne pour k=1,...,n et ton determinant
>vaut alors n! multiplie par le determinant de la matrice S_n dont
>les coefficients valent tous 1 sauf ceux sur la diagonale, qui valent
>0.
>
>Et quelques essais montrent det(S_n) vaut apparemment (-1)^n * (n-1).
>Donc le determinant initial vaut probablement (-1)^n * (n-1) * n!.
>A prouver ![/color]

J'ai aussi l'impression que cette matrice S_n verifie

S_n^2=(n-2) S_n +(n-1) I_n

avec I_n la matrice identite. Avec ca, il doit y avoir moyen de
calculer det(S_n).