Déterminer nombre de tangente par un point externe

[steve08]

Bonjour je me permets de poster ce suivant parce que je suis à bout de cet exercice

Voici l’énoncé :

Soit la fonction f(x) = -x² + 4x - 2 définie sur R gnagnagnagnagnagna

1. Montrer que l'équation réduite est y = (4-2a)x + a² - 2

Je me suis dit : On défini une équation de tangente sous la forme :

f'(a) (x-a) + f(a)

Donc f'(x) = - 2x + 4
Soit f'(a) = - 2a + 4

Ca me fait donc (-2a + 4) (x-a) - a² + 4a - 2= a² - 2ax + 4x -2

Je développe l'équation réduite et (4 - 2a)x + a² - 2 = a² - 2ax + 4x - 2

J'écris donc l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse a est bien T : y = (4-2a)x + a² - 2

Après arrive la question 2 et là c'est le début de la fin

2. En déduire le nombre de tangentes à P (représentation graphique de f(x) ) à partir de point I (3/2; 4) et donner une équation de chacune de ces tangentes.

Alors là je me dis que c'est pas plus compliqué que dans l'équation je remplace y par 4 et x par 3/2 comme ça je trouve toutes les abscisses que les tangentes coupe et ensuite je les remplace pour refaire des équations de tangente or :

4 = (4 - 2a)3/2 + (3/2)² - 2
4 = 6 - 6/2a + 9/4 - 2
4 = 6.25- 3a
-2.25 = -3a
2.25/3 = a
0.75=a

Et là j'ai qu'une tangente qui coupe l'abscisse en un point qui ne correspond pas du tout au tracé sur calculatrice ! Si quelqu'un pourrait m'aider ça serait simpa parce que là je vois pas

[chan79]

Alors là je me dis que c'est pas plus compliqué que dans l'équation je remplace y par 4 et x par 2 comme ça je trouve toutes les abscisses que les tangentes coupe et ensuite je les remplace pour refaire des équations de tangente or :

4 = (4 - 2a)3/2 + (3/2)² - 2

salut
c'est 4=(4-2a)*3/2+a²-4
tu dois trouver deux valeurs pour a (ce sont des entiers)

[Ben314]

Et je t'inciterais plus que fortement à faire un vague dessin grâce auquel tu visualisera immédiatement le nombres de solutions au problème. Tu y verra même approximativement où sont les solutions.
Si tu fait le dessin à la "va vite", ça sera pas super précis, mais ça le sera largement assez pour se rendre compte si la solution a=0.75 que tu as trouvé est totalement débile ou pas.

[steve08]

Ah oui je mets des valeurs à des variables alors qu'il n'y a pas besoin. Fichu a²

alors je trouve a = 1 et a = 2 comme possibilité. Cependant j'ai tracer la courbe sur sin equa non pour vérifier le a = 2 est cohérent mais pas le 1.
Pourriez-vous me dire si cela est ce que vous avez trouvé ?

[Ben314]

Perso, je trouve comme solutions a=0 et a=3.

[steve08]

graphique.JPG (59.96 Kio) Vu 1219 fois

Bon je trouve 0 et 3 aussi mais on devrait pas plutôt trouver 0.5 et 3.5 ?

[Ben314]

...mais on devrait pas plutôt trouver 0.5 et 3.5 ?

Qu'est ce qui te fait dire ça ?

[steve08]

Le fait que sur le graphique l'abscisse soit coupée en 0.5 et en 3.5

[Ben314]

Sur un graphique, vu que la tangente est "très proche" de la courbe à l'endroit "de tangence", c'est forcément pas bien évident de lire avec précision où est situé cet endroit "de tangence".
Sur le logiciel que tu as utilisé, si c'est possible, trace en trait fin la droite passant par I:(3/2;4) et un autre point que tu va déplacer avec la souris : je pense que tu devrait voir que c'est plutôt en 3 (ou en 0) que c'est tangent.

Sous géogébra, on peut tracer la courbe C, placer le point I:(3/2,4) ainsi qu'un point "variable" M sur la courbe C puis tracer la tangente en M à la courbe C.
Et en déplaçant M , on voit assez clairement que les solutions sont bien a=0 et a=3

[steve08]

Effectivement sur ma calculatrice je trouve bien ça mais le logiciel me parait étrange du fait qu'il est normalement très précis et que je vois pas du tout à partir de ce graphique tracer une tangente "partant" du point I (3/2; 4) et coupant l'abscisse en 3 sinon j'aurais un truc comme ça:

graphique.JPG (44.98 Kio) Vu 1195 fois

plutôt bizarre non ? Peut-être le fait d'utiliser une grosse échelle ?

[Ben314]

Ah, non, là, vu l'énorme erreur, c'est clairement qu'il y a un truc que tu as rentré qui est faux.
- La courbe semble correcte
- Les deux droites passent effectivement par I:(3/2,4)
- Par contre les pentes qui sont sensées être égales à 4-2a, c'est à dire à 4 et -2 pour a=0 et a=3, ç'est assez clairement pas bon sur le dessin (dans un cas, ça doit monter de 4 carreaux quand on avance de 1 et dans l'autre cas, ça doit descendre de 2 carreaux quand on avance de 1)

Bref, tu t'es gourré en rentrant les équations des deux tangente qui sont normalement y=4x-2 et y=-2x+7.

[steve08]

euh oui mais si je respecte les coeff directeurs 4 et -2 (PS sur la question suivante qui était trouver les équations des tangentes j'ai trouver la même chose donc j'ai bon ) je ne passe plus par le point I enfin bref c'est bizarre tout ça je vais finir par me retourner le cerveau ^^

[Ben314]

Bon, ben exceptionnellement, je vais un peu bosser (mais attention, que ça ne se reproduise pas...)
https://ggbm.at/heCyNueW
Tu bouge M pour que la tangente passe par I puis tu regarde (à gauche) les coordonnées de M et éventuellement quelle est une équation de la tangente dans ce cas là.

On peut aussi demander directement à Géogébra de tracer les tangentes à C passant par I : c'est plus précis mais c'est moins rigolo vu qu'il y a plus rien à déplacer sur le dessin (ou alors on fait bouger I...)

[steve08]

Je crois avoir compris mon erreur a n'est pas la où ce coupe l'abscisse en faite ? C'est le x du point de contact entre la tangente et la parabole

[Ben314]

Effectivement : ce n'est pas l'abscisse du point d'intersection de la tangente avec l'axe des x, mais l'abscisse du point d'intersection de la tangente avec la courbe C : c'est l'abscisse du point de C dont est "issu" la tangente, c'est à dire l'abscisse du point M de l'animation qui est le point A de l'énoncé (désolé, j'avais pas fait gaffe qu'il avait déjà un nom)

Et tu l'avais d'ailleurs toi même écrit là :

J'écris donc l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse a est bien T : y = (4-2a)x + a² - 2