Déterminer équation de parabole avec les tangente

[codename48]

J'ai un DM de math est l'exercice est celui-ci:

Dans un repère orthonormé, P est une parabole d’équation y= ax² + bx + c et d une droite d’équation y = mx + p.

1)a. Justifier que « d est tangente à P » équivaut à dire que « ax²+ (b - m) x + c – p = 0 a une racine double ».
b. Déduisez-en que « d est tangente à P » si et seulement si (b – m) ²- 4a (c – p) = 0
c. Justifier que si d est tangente à P en M alors l’abscisse de M est (m - b)/2a.

Dans chacun des cas suivant, déterminez l'équation de P ( donc du 2nd degré) et construisez P.

2)a. P passe par A (-2 ; 1) et les droite d1 et d2 - d’équation respective y = x + 1 et y = 3x – 1 sont tangente à P.

b. Les droites d1, d2 et d3 – d’équation respectives y = x ; y = 3x - 1 et y = -x - 1 sont tangente à P.


J'ai réussi la partie 1 mais la deuxième je n'ai aucune piste. Je ne parviens qu'à obtenir une équation à trois inconnus avec les coordonnées de A. Je ne voudrais pas une solution toute faite mais juste une piste pour que je puisse le faire. Je n'arrive en faite pas à traduire les équations des tangentes en d'autres équations, dans le but d'obtenir un système avec a,b et c à déterminer.

Merci d'avance

[oscar]

P(x) = ax² +bx +c
d tangente à P si (b-m)² -4a (c-p) =0
2°)a)pour d1, m = 1 et p= 1
pour d2 ; m = 3 et p=-1
P(-2) =1 Effectue les calculs
b) même méthode

[Huppasacee]

Justifier que « d est tangente à P » équivaut à dire que « ax²+ (b - m) x + c – p = 0 a une racine double ».

Bonsoir

Il faut une justification à :

" pour qu'une équation ait telle racine , il faut que ...."

aussi , avant de formuler quoi que ce soit , avec des formules connues, voyons comment une droite et une courbe aient des points communs, qu'on nomme intersections

nous avons une droite d'équation

y = mx + p

et une courbe dont l'équation est
y = f(x)

pour que deux courbes aient des points communs , il faut que pour certaines valeurs de x , les images soient égales
il faut donc résoudre

mx + p = f( x )

dans le cas en question , f ( x ) est un trinôme du second degré.

f( x ) = a x² + bx + c

donc , il faut que

a x² + b x + c = mx + p

donc
a x² + (b-m) x (c-p) = 0

or, les intersections entre une parabole et une droite peuvent être :

exister et être différentes , dans ce cas là , on a 2 solutions ( delta > 0 )

exister , et être égales , et c'est là qu'on parle de tangente , , donc delta = 0
car la droite ne fait que toucher la courbe , puis s'en éloigner .

ne pas exister , dans le cas où delta est négatif

c'est pour cela que l'on peut énoncer que :
pour que la droite ..... soit tangente à la courbe .....
il faut que

....... = 0