Etudier les variations d'une fonction sur un intervalle

[Archiduc]

Bonjour,
une question demande d'étudier les variations de la fonction f(x)=(60-10x)-(180x/x²+2) sur l’intervalle [0;2,5] .

pour le moment j'ai dérivé la fonction f, j'obtiens: f'(x)=-10-[-180x²+360/(x²+2)²]
je sais que je dois trouver les valeurs racines pour le dénominateur et le numérateur.
j'ai des doutes sur la façon avec laquelle je dois procéder pour trouver ces valeurs, quelle stratégie me conseillez-vous pour trouver les variation de f sur [0;2,5]? que dois-je faire du -10?
merci

[Ben314]

Salut,
Déjà, ça serait pas con d'un minimum savoir manipuler les parenthèses vu que là dedans : f(x)=(60-10x)-(180x/x²+2) les seules qui sont écrites ne servent absolument à rien et que, par contre, si tu n'en met pas là : f(x)=60-10x-180x/(x²+2) alors la seule et unique façon d'interpréter ton truc, c'est vu que les multiplication/divisions sont prioritaires sur les additions/soustractions.
Et si je dit ça, c'est pas (uniquement) pour faire ch..., c'est que si tu tape ça dans n'importe quel programme (géogébra, calculette,...) ça sera interprété comme je te l'ai dit et pas comme toi tu le pense.

Sinon, pour évaluer le signe de ta dérivée, ben il faut factoriser.
Et lorsque l'on a des fraction, "factoriser", ça signifie au minimum de réduire au même dénominateur.

[Archiduc]

merci Ben pour ta réponse, oui c'est vrai pour les parenthèses j'ai modifier le texte pourtant apres, ça na pas pris je pense.
je viens d'essayer de mettre au même dénominateur factorise mais je tombe sur une fonction de degré 4, je ne vois pas comment déterminer les racines
peut tu me montrer la formule finale s'il te plait ?
cordialement

[Ben314]

http://bit.ly/2fr4CyR

Et le numérateur est effectivement de degré 4, mais c'est "bicarré", c'est à dire du second degré si on pose X=x².
(et il y a même une "racine évidente")

[Archiduc]

du coup la forme dérivé est : -(10 (x^4-14 x^2+40))/(x^2+2)^2

ce qui nous donne:
(x^2+2)^2 >0
et -(10 (x^4-14 x^2+40))<0 car -10 est négatif

du coup les variation de f sont décroissante sur [0;2.5]

j'ai raison?

[Ben314]

et -(10 (x^4-14 x^2+40))<0 car -10 est négatif

Et le signe de x^4-14 x^2+40, il compte pour du beurre ?
(ou alors, c'est que pour toi il est "clairement positif", sauf que... c'est faux...)

[Archiduc]

dac donc je ferai comment pour déterminer son signe ?

[Ben314]

Et le numérateur est effectivement de degré 4, mais c'est "bicarré", c'est à dire du second degré si on pose X=x².
(et il y a même une "racine évidente")

[Archiduc]

il faut que je le résolve avec la calculatrice en mode équation?

[Ben314]

A mon avis, à la main, ça correspondrait plus à ca qui est attendu...

[Archiduc]

d'accord merci de ton aide

[Archiduc]

une dernière chose, il faut que j’utilise le discriminant pour avoir le signe ?

[Ben314]

Oui... et non...
Pour avoir le signe, il faut factoriser.
Pour factoriser, il faut connaitre les racines.
Pour trouver les racines on peut utiliser le discriminant.

Mais d'écrire que "il faut utiliser le discriminant pour avoir le signe", c'est un peu raccourci...

Sinon, pour vérifier tes calculs, tu peut (re)cliquer sur le lien çi dessus : dans le "alternate forms" un peu plus bas, tu as une forme "quasi factorisées" de la dérivée (mais pas "totalement factorisée")

Et sinon, vu que ce qui t'intéresse c'est uniquement pour x dans [0 ; 2,5], c'est pas la peine de faire un tableau de signe avec tout les facteurs vu que tous sauf un sont de signe constant sur [0 ; 2,5]

[Archiduc]

merci beaucoup Ben314