F diagonalisable ?

[magalicantat]

bonjour

soit un endomorphisme tel que
comment voir que si et sont valeurs propres de f alors f est diagonalisable ?

je ne vois pas du tout comment procéder

MERCI

[Lostounet]

Salut,

A-t-on un polynôme annulateur de f?

[magalicantat]

je ne sais pas de quoi il s'agit

[Lostounet]

As-tu vu la notion de polynôme minimal et celle de polynôme caractéristique et ou annulateur d'un endomorphisme?

Et le lien entre ces notions?

[magalicantat]

Non pas du tout je ne suis pas en MP ou PSI
Je suis en PC et ils ont retiré cette notion du programme, mais on peut quand meme faire cet exercice de façon plus longue certainement
On a simplement vu le polynôme caractéristique (c'est grace à ca qu'on trouve les valeurs propres) mais pas polynôme annulateur

[Lostounet]

f^4 - f^2 = 0

Cela équivaut à f^2(f^2 - Id) = 0

f^2(f - Id)(f + Id) = 0

Ensuite que dit l'énoncé? 1 et -1 sont les seules vp?

[samoufar]

Bonsoir,

Je me permets de me taper l'incruste par ici

Ensuite que dit l'énoncé? 1 et -1 sont les seules vp?

Je pense que -1 et 1 ne sont pas les seules valeurs propres (autrement on a directement inversible et par suite ce qui suffit pour conclure puisque c'est une symétrie, et donc ).

Non pas du tout je ne suis pas en MP ou PSI
Je suis en PC et ils ont retiré cette notion du programme, mais on peut quand meme faire cet exercice de façon plus longue certainement
On a simplement vu le polynôme caractéristique (c'est grace à ca qu'on trouve les valeurs propres) mais pas polynôme annulateur

Ah, ces satanés concepteurs de programmes, il font tout pour pourrir la vie aux PC C'est vrai qu'avec la notion de polynôme minimal l'exercice se fait en deux lignes

je ne vois pas du tout comment procéder

Il est possible de le faire avec seulement la notion de polynôme caractéristique (c'est plus long, mais bon, c'est comme ça en PC ) :


Si n'est pas inversible, alors est valeur propre de , donc ( admet 3 valeurs propres distinctes) est diagonalisable.

Supposons maintenant que est inversible.
Notons alors le polynôme caractéristique de (scindé dans a priori).

Notons ensuite . D'après le théorème de Cayley-Hamilton (qui, je l'espère, est resté au programme), on a .

Ainsi on a (après développement de )
car .

Ainsi,

• Ou bien et alors admet 3 valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable;
• Ou bien et donc ( est inversible) donc est diagonalisable (cf. tout en haut du post).

Dans tous les cas est diagonalisable.

[magalicantat]

super c'est plus clair
mais le théorème de Cayley Hamilton n'est pas au programme mais on peut utiliser l'argument

[samoufar]

Pas de problème

mais le théorème de Cayley Hamilton n'est pas au programme mais on peut utiliser l'argument

C'est pareil en MP, le théorème est admis mais est (fort heureusement) démontré en TD

[samoufar]

Encore mieux :

• Ou bien n'est pas inversible et alors 0 est valeur propre de donc ( admet 3 valeurs propres distinctes) est diagonalisable.
• Ou bien est inversible et alors c'est une symétrie (), donc est diagonalisable.

[magalicantat]

carrément ! c'est plus court
finalement tu vois qu'en PC aussi ca tient sur deux lignes