~~ Défi Lycée ~~

[Lostounet]

Bonjour,

Un défi pas trop difficile pour les lycéens (et les intéressés)!

Soit x, y et z trois réels vérifiant:


Que vaut ?

[anthony_unac]

Brute de décoffrage, (vu comme ça) j'aurais tendance à dire que c'est mal barré étant donné que nous avons une équation et 3 inconnues (x;y;z) mais peut être que votre but est d'amener les gars à exprimer x+2/y^3 en fonction de z ?!

[Lostounet]

Je voudrais une valeur numérique

[samoufar]

Non, il n'est pas question ici d'exprimer en fonction de , mais plutôt de remarquer que l'on peut factoriser l'expression en une jolie somme moyennant quelques identités remarquables, où chaque terme ne dépend que d'une seule variable. L'équation à variables devient alors simple à résoudre, et on obtient le résultat

[anthony_unac]

On voit la solution évidente en procédant à tâtons mais je ne comprends pas en fait la philosophie de l'auteur de cet exercice et ce d'autant plus qu'il veut nous balader dans IR tout "entier" (le sadique) comme c'est immense par rapport à la solution évidente.

[anthony_unac]

Dans ce cas messieurs, je suis passé complètement à coté

[Lostounet]

C'est moi l'auteur de cet exercice hahaha

Mais je me suis effectivement inspiré d'un exercice déjà fait. Quelle solution trouves-tu?
(sans détailler)?

@samoufar: bravo

[anthony_unac]

Quelquechose dans IN évidemment en m'éloignant vraiment vraiment peu de 1 en valeur absolue pour chaque inconnue

[samoufar]

@samoufar: bravo

Merci

[anthony_unac]

Je crois que je suis allé cherché un peu trop loin vu qu'il s'agissait d'explorer les solutions dans IR tout entier j'avais sortie l'artillerie trigonométrique en vain sauf si nous avions eu pour énoncé quelquechose du type :

[samoufar]

Effectivement, tu es allé chercher un peu trop loin Les identités remarquables en question sont très simples, il suffit de développer le membre de gauche de l'équation pour le voir (les termes en , et ainsi obtenus devraient les mettre en évidence ).
La solution en découle.

[Lostounet]

Je crois que je suis allé cherché un peu trop loin vu qu'il s'agissait d'explorer les solutions dans IR tout entier j'avais sortie l'artillerie trigonométrique en vain sauf si nous avions eu pour énoncé quelquechose du type :

Il me semble que ton truc admet un degré de liberté.

On peut imposer x=+-1 et avoir ainsi:
(y+z)^2=0 qui impose y=-z
Dans R

[anthony_unac]

Et l'équation devient :

En se débrouillant bien pour annuler les termes au carré, on retrouve aisément le
Effectivement !

[anthony_unac]

Je crois que je suis allé cherché un peu trop loin vu qu'il s'agissait d'explorer les solutions dans IR tout entier j'avais sortie l'artillerie trigonométrique en vain sauf si nous avions eu pour énoncé quelquechose du type :

Il me semble que ton truc admet un degré de liberté.

On peut imposer x=+-1 et avoir ainsi:
(y+z)^2=0 qui impose y=-z
Dans R

La clé ici réside dans le changement de variable x=CosA; y=Cos B; z=Cos C en supposant que ABC désigne un triangle

[Lostounet]

Tu es sûr que ABC peut-être un vrai triangle?

Car la condition cos(A)=+-1 qui impose un angle plat ou nul c'est pas bien parti..? :p

[anthony_unac]

Effectivement dans cette equation, le triplet solution n'appartient pas à IN3 quoique cela te choque (dans l'univers des possibles) un triangle plat ?

[samoufar]

En tout cas l'équation proposée par anthony_unac est vraie pour tout triangle, puisque dans ce cas on impose des angles positifs vérifiant (on peut ainsi exprimer en fonction de et , et après quelques transformations de l'équation on aboutit à ).

Néanmoins cela ne semble pas aider à la résolution du problème initial qui ne demande pourtant pas d'appeler l'artillerie lourde qu'est la trigonométrie

[anthony_unac]

Vous avez raison, cela n'aide en rien à la résolution du problème initial et j'ai quelquepart pourri la discussion avec ma glissade vers cette identité géométrique.
Vous pouvez effacer mes propos sur cette discussion si vous le souhaitez
C'est juste qu'en voyant votre équation, j'ai pensé à cette identité (ce qui est hors sujet)

[Lostounet]

Pour le pb d'Anthony, cette vision géométrique ne permet pas d'accéder à toutes les solutions, non?

En effet tous les triplets (+-1 ; y ; - y) conviennent.

Du coup, si on s'obstine à voir un triangle celui-ci aurait un A=pi et deux angles B et C pourris nuls.

[samoufar]

Pour le pb d'Anthony, cette vision géométrique ne permet pas d'accéder à toutes les solutions, non?

Effectivement si l'on considère un triangle on impose la condition , ce qui restreint l'ensemble des solutions.

Du coup, si on s'obstine à voir un triangle celui-ci aurait un A=pi et deux angles B et C pourris nuls.

Ceci sous réserve de fixer , mais sinon cette identité est vraie pour tout triangle

C'est juste qu'en voyant votre équation, j'ai pensé à cette identité (ce qui est hors sujet)

Personnellement j'ai trouvé cette identité très intéressante