Je donne quand même une solution qui ne demande pas d'autre connaissance que celle de l'écriture binaire d'un entier c'est à dire en n'utilisant que les chiffres 0 et 1 .
Par exemple :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... décimal
devient :
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,... binaire
Pour ne pas se perdre dans les notations j'écrirai
pour différencier les deux écritures .
Revenons à nos moutons où pour simplifier les explications je supposerai que les prisonniers sont massacrés en commençant par le numéro 1 , 3 , 5 , ... ( on ajoutera donc 1 au résultat trouvé pour obtenir le numéro initial du survivant ) .
On suppose qu'il y a N prisonniers ( pour illustrer je choisi
) et on commence le massacre en faisant un tour complet . On retire donc les numéros 1,3,5,7,9,11,13 et il reste 2,4,6,8,10,12 . Si on écrit en binaire le numéro des survivants :
c'est à dire tous les numéros se terminant par
. Ce résultat reste bien sûr vrai si on change la valeur de N . Pour le deuxième tour , les numéros choisis seront
c'est à dire tous ceux dont l'avant dernier chiffre est
. On voit très bien que si on ajoute ou enlève 1 à N=13 on choisira lors du 2ème tour les numéros dont l'avant dernier chiffre est
. Reste alors les numéros
c'est à dire tous ceux qui ce terminent par
. Il est important de noter qu'au tour n on retire tous les numéros ayant un certain chiffre en nième position ( en partant de la fin ) et que l'on garde tous les autres . Par exemple à la fin du 2ème tour il ne reste que des finitions
et si on enlève ces deux derniers chiffres aux survivants on obtiens :
c'est à dire tous les entiers possibles ( pas trop grands ) . On a fini le 2ème tour sur le choix de
il reste alors tous les "petits" dont les deux derniers chiffres sont
le premier est
et le suivant
. On choisira le deuxième à cause du
en troisième position à la fin de
et on remarquera qu'il figure à la même position dans l'écriture binaire de N=13 .
La méthode est maintenant claire pour
après le tour T , il reste :
T=1 :
T=2 :
T=3 :
T=4 :
Il reste donc le prisonnier numéro
qui est le 11 de Lapras .
Pour le cas général si
est l'écriture binaire du nombre de prisonniers (
) le numéro du survivant de Lapras est
.
J'ai plutôt été très long j'espère que l'idée est quand même claire , sinon avis aux amateurs pour faire plus simple ... :zen:
Imod
