Valeur propre et vecteur propre

[Anonyme]

Bonjour,

le plus simplement possible, pouvez-vous m'expliquer
ce que sont une valeur propre et un vecteur propre ?

Peut-être en faisant une analogie ...



Merci

[Anonyme]

comme par exemple , le déterminant représente une aire
ou un volume, alors
1/ un vecteur propre représente un(e) ....??....
2/ une valeur propre représente un(e) ....??....






"anthony" a écrit dans le message news:
3f753244$0$20948$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Bonjour,
>
> le plus simplement possible, pouvez-vous m'expliquer
> ce que sont une valeur propre et un vecteur propre ?
>
> Peut-être en faisant une analogie ...
>
>
>
> Merci
>
>

[Anonyme]

anthony a écrit :
>
> comme par exemple , le déterminant représente une aire
> ou un volume, alors
> 1/ un vecteur propre représente un(e) ....??....
> 2/ une valeur propre représente un(e) ....??....

Soit A une permutation linéaire, x est vecteur propre associé à la
valeur propre L si: A(x) = L x
Bref c'est juste des vecteurs dont l'image est proportionelle à eux
même, càd qu'on a une droite qui est globalement conservée. La droite
subit une homothétie de rapport L.

Dans des contextes plus particuliers, on peut trouver des significations
plus concrètes, par exemple en mécanique, on peut être amené (dans
l'étude d'une position d'équilibre d'un système) à regarder une certaine
matrice dont les valeurs propres seront des fréquences d'oscillation.

--
Nico.

[Anonyme]

anthony a écrit
> le plus simplement possible, pouvez-vous m'expliquer
> ce que sont une valeur propre et un vecteur propre
> Peut-être en faisant une analogie ...

En deux mots :
Soit E un K.e.v. et f un endomorphisme de E.
Les vecteurs propres de f sont les vecteurs non nuls
de E qui ne changent pas de direction sous l'action de f
__________

Autrement dit un vecteur v non nul de E est appelé
vecteur propre de f ssi il existe un scalaire a tel que
f(v) = a * v

Le scalaire a est alors appelé valeur propre de f
et v est appelé vecteur propre associée à a.
__________

On remarque que f(k*v) = k * f(v) = k*a*v = a*(k*v)
Donc si v est vecteur propre associé à a, tout vecteur
colinéaire à v est aussi un vecteur propre associé à a.

Donc la droite vectorielle D engendrée par un vecteur
propre est inchangée sous l'action de f :
f(D) = D
__________

Il est possible que l'on trouve deux vecteurs u et v
non colinéaires associés à la même valeur propre a.

Dans ce cas si w est de la forme w = k*u + r*v
alors :
f(w) = k*f(u) + r*f(v) = k*a*u + r*a*v = a*w
Donc w est un vecteur propre associé à a.

Donc le s.e.v. engendré par E_a = Vect{u, v}
est inchangé sous l'action de f :
f(E_a) = E_a.

Le sous-espace vectoriel E_a est appelé sous-espace
propre associé à a.

--
Amicalement, Pierre
chez marcelle.paquier@mageos.com

[Anonyme]

Le Sat, 27 Sep 2003 08:47:07 +0200
"anthony" écrivit:

> Bonjour,
>
> le plus simplement possible, pouvez-vous m'expliquer
> ce que sont une valeur propre et un vecteur propre ?
>
Dans une symétrie axiale du plan, tout vecteur colinéaire à l'axe estun
vecteur propre, de même que tout vecteur perpendiculaire à l'axe. (leur
direction est inchangée par symétrie) C'est dans une base de vecteurs
propres qu'il est le plus facile d'exprimer analytiquement cette
transformation.

JJR.