Mais pour quelle valeur cette équation s'annule - t - elle?

[Anonyme]

Bien le bonjour.
Je suis bloqué sur un petit calcul dont j'ai oublié la méthode de
résolution. Peut être allez vous pouvoir m'aider...
Soit la foinction définie sur R:
g(x)=x^3-3x-4
On a prouvé grace au tableau de variation et a la dérivée que g(x)=0 a une
solution unique sur [1 ; +inf].
On veut maintenant conaitre la valeur de x pour laquelle g(x)=0.
Et c'est la que bêtement, ca bloque.
Merci de votre aide!

[Anonyme]

Le Sat, 2 Oct 2004 14:52:19 +0200
Antoine Darrobers a écrit
>Bien le bonjour.
>Je suis bloqué sur un petit calcul dont j'ai oublié la méthode de
>résolution. Peut être allez vous pouvoir m'aider...
>Soit la foinction définie sur R:
>g(x)=x^3-3x-4
>On a prouvé grace au tableau de variation et a la dérivée que g(x)=0 a une
>solution unique sur [1 ; +inf].
>On veut maintenant conaitre la valeur de x pour laquelle g(x)=0.
>Et c'est la que bêtement, ca bloque.
>Merci de votre aide!
>

x^3 = 3x+4

poses x = a+1/a

a^3+3a+3/a+1/a^3 = 3a + 3/a + 4

a^3+1/a^3 = 4

b = a^3

b + 1/b = 4
b² - 4b + 1 = 0

b = 2 +/- sqrt(3)

x = (2+sqrt(3))^(1/3)+1/((2+sqrt(3))^(1/3))

REM : avec - à la place de + c'est pareil.



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Bonjour,

zwim a écrit:
> Le Sat, 2 Oct 2004 14:52:19 +0200
> Antoine Darrobers a écrit[color=green]
>>g(x)=x^3-3x-4
>
> x^3 = 3x+4
>
> poses x = a+1/a[/color]

De façon générale avec x^3 - px - q = 0
en posant x = a + p/(3a)

>
> x = (2+sqrt(3))^(1/3)+1/((2+sqrt(3))^(1/3))
>
> REM : avec - à la place de + c'est pareil.

Eh oui en ramenant 1/(u+sqrt(v)) au numérateur par
multiplication de l'expression conjuguée u-sqrt(v)
ça se "voit".

On obtient dans le cas général les formules de Cardan
D = (q/2)^2 - (p/3)^3
x = (q/2 + sqrt(D))^(1/3) + (q/2 - sqrt(D))^(1/3)
(remises ici avec les signes idoines car
d'habitude l'équation est x^3 + px + q = 0)

Ici on a du bol, cela semble ne pas se simplifier d'avantage.
L'application brutale de cette méthode à
x^3 + x - 2 = 0
donne :

x = (1 + sqrt(28/27))^(1/3) + (1 - sqrt(28/27))^(1/3) = ... 1 !
pas évident à voir cette simplification !

Et puis si D<0, on a même les 3 racines réelles !
encore moins évident !

(merci, m'a permis de voir un bug de copier coller sur mon site)

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

On Sat, 02 Oct 2004 18:24:33 +0200, philippe 92
wrote:


>De façon générale avec x^3 - px - q = 0
>en posant x = a + p/(3a)
>
oui
mais je dirai pour expliquer peut-être d'où ca vient

c'est que si on pose x=u+v
u^3+3uv(u+v)+v^3-p(u+v)-q=0
on voit qu'en prenant 3uv=p (donc x=u+p/(3u))
on a
u^3+v^3-q=0
et comme u^3v^3=p^3/27
on voit que u^3 et v^3 sont racines du eq du 2ième degré
X^2-qX+p^3/27=0

donc on est ramené à 1 eq du 2ième degré et 2 eq du 3ième "simples"

Il paraît que c'est en appliquant cette méthode à x^3-15x-4=0
que Bombelli Rafaele a "inventé" les nb complexes
en effet pour cet ex l'équation du 2ième degré est X^2-4X+125=0
dont le delta est négatif , donc pas de sol réelle en X et
pourtant l'équation du départ a une sol réelle 4 :
et c'est là qu'arrive l'idée géniale :
l'eq en X s'écrit
(X-2)^2+11^2=0 et en imaginant i tel que i^2=-1
(X-2-11i)(X-2+11i)=0

ici comme (2+i)^3=2+11i
on peut prendre u=2+i v=2-i et u+v=4

en passant par i on a obtenu la sol réelle 4 !

en tout cas c'est l'exemple introductif aux complexes mis dans
beaucoup de bq de TS

bon évidemment il y a en fait 3 possibilités pour u, les mêmes pour v
mais uv doit faire 5 etc......


*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

bonjour,

Marc Pichereau a écrit:

> mais je dirai pour expliquer peut-être d'où ca vient
>
> c'est que si on pose x=u+v

toutafé

> Il paraît que c'est en appliquant cette méthode à x^3-15x-4=0
> que Bombelli Rafaele a "inventé" les nb complexes
....
>
> et c'est là qu'arrive l'idée géniale :
....
>
> ici comme (2+i)^3=2+11i

Le parachute ou la boule de cristal ?
Plus prosaïquement, comme on "sait" que la solution est 4
on cherche la racine cubique de 2 + 11i sous la forme 2 + ti
(2 = 1/2 de 4) et on obtient alors facilement t=1...

> on peut prendre u=2+i v=2-i et u+v=4

Sans "voir" les solutions évidentes (1,2,-3), résoudre
avec les formules/méthodes ci-dessus : x^3-7x+6 = 0
Une racine cubique simple à trouver de
-3 + i*sqrt(100/27) ?

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

On Sat, 02 Oct 2004 21:31:22 +0200, philippe 92
wrote:


>Marc Pichereau a écrit:

>[color=green]
>> Il paraît que c'est en appliquant cette méthode à x^3-15x-4=0
>> que Bombelli Rafaele a "inventé" les nb complexes
>...
>>
>> et c'est là qu'arrive l'idée géniale :
>...
>>
>> ici comme (2+i)^3=2+11i[/color]
?? j'avoue ne pas comprendre cette juxtaposition de ces 2 lignes de
mon message précédent
je n'ai jamais dit que l'idée géniale de Bombelli c'était de
trouver (2+i)^3=2+11i comme le laisse croire cette façon de tronquer
mon message
>Le parachute ou la boule de cristal ?

mon but n'était pas d'expliquer comment on peut résoudre u^3=2+11i, ,
mais d'expliquer que c'est à propos de la méthode (x=u+v...uv=....)
et qu'on tombe sur un second degré sans sol réelle, alors que
l'équation du 3ième degré de départ a une solution réelle que Bombelli
a eu l'idée de considérer les nb imaginaires
c'est tout .

[Anonyme]

plusieurs méthode possible : comme pour le discriminant il existe des formules
pour les racines de polynomes de degres inferieurs à 4.
On peut aussi tenter une dichotomie.
MAIS la premiere des chose à faire est toujours de tester quelques valeurs par
exemple -3 -2 -1 0 1 2 3 ... cette methode est tres bien adaptée ici!