Limite suite d'intégrale

[ezril13]

Bonjour,

J'ai essayé de trouver d'étudier et trouver une majoration
en utilisant les inégalités avec la valeurs absolues et les intégrales mais je ne trouve rien qui tende vers 0.
J'ai pas l'impression qu'on puisse résoudre le problème de cette manière...
Je vois pas comment aborder l'exercice autrement?

Merci.

[Ben314]

Salut,
Il y a surement plus subtil (et je suis sûr que quelqu'un trouvera...) mais on s'en sort bien avec la définition de la continuité : on fixe . Il existe tel que pour .
Tu coupe alors ton intégrale en deux : de 0 à puis de à 1. tu montre que le premier morceau (fois n) est proche de 1 grâce à l'inégalité çi dessus et tu montre que le deuxième morceau (fois n) tend vers 0 en majorant la fonction f par une constante (f est continue sur le segment [0,1] donc bornée).

Je regarde si je trouve plus joli (sinon, un autre trouvera...)

EDIT : sinon, ton idée de "faire passer" le f(1) de l'autre coté est bonne, mais celle d'écrire que ne l'est pas.
Si tu veut que ça s'arrange bien, il vaudrait mieux écrire que

[MouLou]

J'ai un autre truc en écrivant et en remplacant f(1) parcette expression dans

Edit: Je n'avais pas vu la fin de ton post Ben, désolé

[Matt_01]

En "plus simple", on peut utiliser Stone Weierstrass. On utilise le fait que , et que, plutôt facilement (on utilise la linéarité), tend vers P(1) pour P polynôme.
Alors on peut montrer que

[remullen2000]

Bonsoir,

On ne peut pas faire un simple changement de variable du style y=x^n ?
Puis par convergence dominée passer la limite sous l'intégrale...

[ezril13]

Ok merci, j'ai fait

En posant

J'ai

Donc j'ai montré que le second terme tends vers 0.

Soit , il existe tel que

et :



Donc le premier terme tends vers 0 et le deux est égale à

et donc j'ai
Donc ca tends vers 0.


Je pense que vous vous êtes trompé sur l'égalité de f(1)?
Et pour la continuité l'intervalle de x je trouve l'inégalité sur et non


Pour ce qui est Stone Weierstrass je n'ai vu pour l'instant que le théorème de Weierstrass.

[aymanemaysae]

Je crois que ce lien est utile : http://math.stackexchange.com/questions/128823/limit-of-integral-n-int-01-xn-fx-textdx-as-n-rightarrow-infty

[MouLou]

Oui t'as raison pour ton f(1), et je suis d'accord pour la suite, et oui il y'a une autre coquille dans le truc de Ben tu l'as bien rectifié.

[Ben314]

Je confirme que mon texte çi dessus est bourré d'erreurs :marteau: que tu as parfaitement rectifiées.... :lol3:

[aymanemaysae]

Je tiens avant tout à affirmer que cette démonstration n'est que la traduction d'une démonstration en anglais que j'ai trouvée sur le lien que j'ai déjà cité.

D’une part, la fonction f est continue sur le segment [0,1] donc elle est borné et il existe M>0 tel que |f(x)|;)M|, donc



D’autre part on a :


Le second terme de la partie droite tend vers f(1) quand n;);).
Pour démontrer que le terme de gauche tend vers zéro, supposons un >0 fixé et Choisissons 0<a<1, de cette manière on a |f(x);)f(1)|<;) pour a<x<1.
Donc,
.
Donc ceci tend vers quand n;)+;).

Donc tend vers 0 quand n;)+;),
donc tend vers 0 quand n;)+;),
donc - tend vers 0 quand n;)+;),
donc tend vers tend vers 0 quand n;)+;)
donc tend vers f(1) quand n;)+;) .

[MouLou]

Oui, c'est à très peu de chose près la même chose que ce qu'a fait ezril