Limite de suite définie par une intégrale

par **Airborne57** » 23 Sep 2013, 17:26

Bonjour,

Voilà j'ai une suite

. On me demande de calculer sa limite.
J'ai développé l'expression de

et j'ai obtenu :

.
C'est précisément ici que je suis coincé, je n'arrive pas à calculer une primitive de

ou trouver un encadrement qui me permettrait de calculer la limite de

.
Si quelqu'un pouvait me donner une piste pour m'aider à avancer. Merci d'avance.

par **Maxmau** » 23 Sep 2013, 17:52

Airborne57 a écrit:Bonjour,

Voilà j'ai une suite . On me demande de calculer sa limite.
J'ai développé l'expression de et j'ai obtenu : .
C'est précisément ici que je suis coincé, je n'arrive pas à calculer une primitive de ou trouver un encadrement qui me permettrait de calculer la limite de .
Si quelqu'un pouvait me donner une piste pour m'aider à avancer. Merci d'avance.

bj
essaie de majorer l'intégrale en majorant la valeur absolue de la fonction à intégrer.

par **adrien69** » 23 Sep 2013, 17:55

Salut, mon premier réflexe si je n'avais pas connu le théorème de convergence dominée aurait été une ipp pour faire descendre le degré de x^n puis d'en déduire un développement limité. Mais y a sûrement plus simple.

par **deltab** » 23 Sep 2013, 18:10

Airborne57 a écrit:Bonjour,

Voilà j'ai une suite . On me demande de calculer sa limite.
J'ai développé l'expression de et j'ai obtenu : .
C'est précisément ici que je suis coincé, je n'arrive pas à calculer une primitive de ou trouver un encadrement qui me permettrait de calculer la limite de .
Si quelqu'un pouvait me donner une piste pour m'aider à avancer. Merci d'avance.

Essaies d'établir des relations de récurrence pour

par double intégration par parties

par **Airborne57** » 23 Sep 2013, 20:30

En effectuant une double intégration par partie, j'obtiens la relation de récurrence suivante:

par **jlb** » 23 Sep 2013, 22:31

bonsoir, je ne suis pas du tout sur de moi mais cela a l'air d'aller: tu découpes ton intégrale sur [1,pi/2], [pi/2,3pi/2] et [3pi/2,6] et après tu minores correctement chaque bout et cela doit tendre vers + inf ( par cos1x(pi/2-1)/2, par pi(3pi/2)^n et par à 0,5(6-3pi/2)6^n cos6 si je ne me suis pas trompé) { en gros, c'est équivalent à C.(3/e)^n avec C constante positive} C'est peut-être du grand n'importe quoi!!!qu'en penses-tu?}

[sinon, Adrien , tu pourrais développer avec le théorème de convergence dominée, je ne suis pas très à l'aise là dessus, j'aimerai bien voir comment on l'utilise, merci, en tout cas, si tu as le temps]

par **Maxmau** » 24 Sep 2013, 08:20

sur [1,6] |x^n cosx| < 6^n
cette majoration suffit pour conclure

par **jlb** » 24 Sep 2013, 08:56

Maxmau a écrit:sur [1,6] |x^n cosx| < 6^n
cette majoration suffit pour conclure

Bonjour, peux-tu développer, je ne vois pas ce que cela apporte puisque alors |Un|=<5.e^-n.6^n/2^n=5(3/e)^n et cela diverge, non? Mais, je passe souvent à côté!!! donc un coup de main svp

par **Archibald** » 24 Sep 2013, 11:52

Utilisation du théorème des croissances comparées, si je ne m'abuse.

par **chan79** » 24 Sep 2013, 12:45

Airborne57 a écrit: je n'arrive pas à calculer une primitive de

Salut
Ca ne doit pas aider pour la limite mais pour une primitive de

, j'arrive à:

Pour chaque polynôme, l'exposant diminue de 2 à chaque fois, il y a alternace des signes et il y a à chaque fois deux facteurs de plus pour arriver à n! (devant le cosinus si n est impair ou devant le sinus sinon)
Pour n=4:

Pour n=5:

par **jlb** » 24 Sep 2013, 13:22

Archibald a écrit:Utilisation du théorème des croissances comparées, si je ne m'abuse.

Désolé, mais je ne comprends pas du tout la démarche, ça va donner quoi? Merci.

par **adrien69** » 24 Sep 2013, 15:10

J'aime bien les quinze méthodes qui sortent pour montrer le résultat, sûrement toutes valables, et la plus simple qui tombe à la fin :ptdr:

Alors ça va donner

par **Maxmau** » 24 Sep 2013, 15:30

jlb a écrit:Bonjour, peux-tu développer, je ne vois pas ce que cela apporte puisque alors |Un|=<5.e^-n.6^n/2^n=5(3/e)^n et cela diverge, non? Mais, je passe souvent à côté!!! donc un coup de main svp

effectivement cette majoration est trop forte. Au temps pour moi

par **chan79** » 24 Sep 2013, 15:49

adrien69 a écrit:J'aime bien les quinze méthodes qui sortent pour montrer le résultat, sûrement toutes valables, et la plus simple qui tombe à la fin :ptdr:

Alors ça va donner

salut
Sûr que la suite tend vers 0, à la fin ?

par **adrien69** » 24 Sep 2013, 16:21

Je savais pas combien valait e, j'aurais dit 3,7; oups.

par **Maxmau** » 24 Sep 2013, 16:46

adrien69 a écrit:Je savais pas combien valait e, j'aurais dit 3,7; oups.

malheureusement 2e < 6 (e=2,718...)

par **Doraki** » 24 Sep 2013, 16:49

cos(x) est croissant et positif sur [3pi/2;6], donc :

|Un| = |intégrale de 1 à 6 de (x/(2e)^n)cosxdx|
>= (intégrale de 3pi/2 à 6 de ...) - |intégrale de 0 à 3pi/2 de ...|
>= (intégrale de 5.5 à 6 de (5.5/2e)^n cos(5.5) dx) - (intégrale de 0 à 3pi/2 de (3pi/4e)^n dx)
= 0.5 * (5.5/2e)^n cos(5.5) - (3pi/2)*(3pi/4e)^n

qui tend bien évidemment vers l'infini puisque 3pi/4e < 1 < 5.5/2e

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