Suite de fonction, intégrale, limite [résolu]

par **mathmax** » 04 Avr 2006, 18:02

Bonjour,

Je cherche à démontrer la ceci :
soit {fn}: x-> 1/x^(1+1/n)

La suite des intégrales des fn ne converge pas simplement vers l'intégrale de 1/x (c'est à dire ln(x)). Savez-vous comment faire ?

Un théorème nous dis que si une suite {fn} converge uniformément vers f et que pour tout n, fn est continue alors on peut intervertir limite et intégrales. Malheureusement ce théroème ne va pas dans le sens inverse qui m'intéresse ici.

merci d'avance pour votre aide.

par **abel** » 05 Avr 2006, 21:04

tu intègres sur quel domaine ??? car si il y a 0 ca risque d'être + compliqué

par **mathmax** » 06 Avr 2006, 15:30

disons sur [1/2, + infini]. C'est vrai que dans ce cas, on peut constater que les intégrales des fn convergent toutes (critère de Riemann si j'ai bon souvenir) alors que celle de 1/x diverge en +infini... Je pense avoir répondu à ma question en fait.

par **quinto** » 06 Avr 2006, 17:21

mathmax a écrit:La suite des intégrales des fn ne converge pas simplement vers l'intégrale de 1/x

Ca n'a pas beaucoup de sens ce que tu dis...

par **mathmax** » 09 Avr 2006, 21:46

pourquoi ?

par **abel** » 10 Avr 2006, 11:29

Je pense que parce que pour parler de convergence simple il faut une fonction, or suite à l'integration, on n'a qu'une suite indépendante de x (qui était la variable d'intégration). En fait cela peut avoir un sens si tu parles de fonction constante mais bon c'est un peu tiré par les cheveux.

par **serge75** » 14 Avr 2006, 09:23

Je comprends mal ton questionnement : si tu veux montrer que (fn) converge simplement mais non uniformément sur [1,+infini[, ton calcul d'intégrale est malvenu, car le théorème de limite uniforme et d'intégration ne s'applique que sur un segment, ce qui n'est pas le cas pour [1,+infini[.

par **mathmax** » 15 Avr 2006, 20:11

En fait par intégrale, j'entendais primitive. Et c'est vrai que là mon théorème ne s'applique pas... :triste:

par **serge75** » 16 Avr 2006, 15:37

Si tu parles de primitives, l'énoncé est là encore imprécis, sachant qu'une fonction n'a pas une mais plein de primitives !
J'imagine que ton énoncé serait plutôt :
Soit Fn(x)=int(fn,t=1..x) (Fn est la primitive qui s'annule en 1 de fn).
Si tel est l'énoncé, je pense qu'effectivement (Fn) converge sinplement vers la fonction fn (par utilisation de la convergence dominée, on de la cv uniforme sur le SEGMENT [1,x]), mais par contre il est trés peu vraissemblable que Fn converge uniformément sur ]0,+infinity[ vers ln. Confirme-moi ton énoncé avant que je cherche des majorations qui établieraient le résultat.

par **mathmax** » 17 Avr 2006, 20:22

Oui l'énnoncé ressemble un peu à ça. Je le reformule :

Soit {fn} :

On a clairement la convergence simple de cette suite de fonctions vers la fonction f : x->1/x
On a en revanche pas la convergence uniforme sur IR+* (on s'en rend compte en prenant

Maintenant soit {gn} :

. Cette suite CV simplement vers

. Mais converge t -elle aussi uniformément vers ln ?

Comment ce fait-il alors que seule la suite formée des primitives des fn s'annulant en 1 tende vers ln quand n tend vers l'infini et pas les primitives usuelles (de la forme

) ? En effet ces dernières ne peuvent pas tendre vers le logarithme ni simplement, ni uniformément car

, ces fonctions sont négatives.

Ce qui me dérange est donc ce "saut" qu'il semble y avoir entre les primitives usuelles des fn (

) et la fonction ln et le fait qu'il faille prendre les primitives qui s'annullent en 1 pour ne plus avoir ce "saut". Je me demande aussi si celà est lié au fait que {fn} ne converge pas uniformément vers 1/x ?

Voilà.

En éspérant avoir été plus clair...

par **yos** » 17 Avr 2006, 22:38

mathmax a écrit:En éspérant avoir été plus clair...

Pas pour moi en tout cas.

est la primitive de

qui s'annule en 1. Je ne comprends rien à ta distinction entre primitive usuelle et pas usuelle.
On a

.
Ca converge simplement vers

(facile) et même uniformément sur tout compact de

(un peu plus long à écrire).

par **serge75** » 18 Avr 2006, 01:00

Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce que tu voulais dire, mais d'après ce que je crois comprendre de ta question : si tu t'autorises à prendre n'importe quelle primitive, tu t'autorise à prendre n'importe quelle constante d'intégration, par par là même, tu peux faire diverger ta suite de fonction (même pas de cn simple).
Par exemple, prenons fn(x)=x^n sur [0,a] avec 0Prenons pour primitive Fn(x)=n+x^(n+1)/(n+1).
La suite Fn(x) à x fixé est alors divergente.
Le théorème autour duquel on tourne est le suivant :
si (fn) est une suite de fcts qui converge uniformément sur tout segment de I, et si Fn est la primitive qui vaut a en x0 de I (a et x0 constantes fixées), alors la suite (Fn) converge uniformément sur tout segment de I.

On notera deux choses : la cv uniforme ne passe pas en général à la primitive, mais la convergence uniforme sur tout segment oui, à la condition que les primitives soient choisies de sorte à valoir la même chose en un point donné. Notons qu'on peut éventuellement afaiblir cette hypothèse en postulant seulemnt que la suite (Fn(x0)) converge.
En espérant t'avoir aidé.
Serge

par **mathmax** » 22 Avr 2006, 19:55

oui merci. :id:

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