Suite convergente bacs

[Gross_gore]

Donc bon voila l'exo :
un+1 = 2 + (1/un²)

1) Montrez que un est plus grand ou égal que 2 ( facile )
2) Montrez que (un) est une suite convergente qui tend vers ;)
;)=2+(1/;)²)

(un) est majoré et croissante donc convergente , mais j'ai pas bien compris comment montrer qu'elle tend vers ;) .

Merci de votre aide .

[nodjim]

Si u0=1/2, u1=6, u2 < u1, la suite n'est pas croissante.

[chan79]

salut
la suite n'est pas croissante ...

[Gross_gore]

Oui vous avez raison je voulais dire décroissante et minorée , mais cela ne résout pas mon problème je ne vois pas comment je peux prouver que (un) est convergente vers ;) et que ;)=2+(1/;)²) .
je n'ai même pas bien compris cette question a vrai dire

[biss]

je ne peux pas montrer cela car je ne peux montrer que a+1=a avec a element de R

[Lostounet]

Décroissante et minorée, la suite Un possède une limite finie. Notons a cette limite.

Un+1 a pour limite a lorsque n tend vers l'infini
Un a pour limite a lorsque n tend vers l'infini

Or
un+1 = 2 + (1/un²)

donc en passant l'égalité à la limite, L vérifie:

L = 2 + 1/L^2

@Biss: Je vois pas trop ton a + 1 =a ? L'équation proposée a bien une solution par le TVI.

[chan79]

Un n'est pas décroissante non plus ...

[Lostounet]

Bon j'ai admis ce résultat en lisant je ne sais plus quel post.
Bien entendu il faut vérifier :ptdr:

[nodjim]

En fait, la suite oscille autour de la valeur de la convergence. Reste à montrer que cette oscillation s'aplatit à chaque itération.

[Matt_01]

Tu as peut être un résultat admis sur les fonctions contractantes ? Ici f qui à x associe 2+1/x^2 est contractante sur [2,+inf[

[Matt_01]

Je pensais à un truc du style, si f est contractante sur I, (un) une suite de I telle que u(n+1)=f(u(n)) alors u(n) converge vers un point fixe de f sur I.
Sinon, à la main :
Tu montres que f admet un unique point fixe sur [2,+inf[ que tu notes a.
Tu montres que |f(x)-a|<|x-a|/4 (pas revérifié le coefficient, mais l'important est <1) pour x >=2 (et en utilisant a>2).
Et tu conclues (comment ?).

[Gross_gore]

Je pensais à un truc du style, si f est contractante sur I, (un) une suite de I telle que u(n+1)=f(u(n)) alors u(n) converge vers un point fixe de f sur I.
Sinon, à la main :
Tu montres que f admet un unique point fixe sur [2,+inf[ que tu notes a.
Tu montres que |f(x)-a|=2 (et en utilisant a>2).
Et tu conclues (comment ?).

Merci c'est exactement ça , j'ai trouvé exactement ce théorème sur mon cahier et que f(a)=a
ça ma amené directement a la réponse .

Parcontre je ne sais toujours pas si (un) est croissante ou décroissante :hum:

[Gross_gore]

Si u0=1/2, u1=6, u2 < u1, la suite n'est pas croissante.

c'est suffisant si j'utilise ça pour prouver qu'elle est décroissante ?

[Matt_01]

Elle n'est ni croissante ni décroissante. Comme dit précédemment, elle oscille autour de sa limite.
Tu n'as pas besoin que la suite soit monotone pour appliquer le théorème que j'ai cité.

[Gross_gore]

C'est correct si je calcule lim a = 2
et que j'en déduis par la qu'elle est convergente sans passer par la case croissante ou décroissante ?

[Matt_01]

Je ne comprends pas ce que tu écris.
La démarche : u est une suite de [2,+inf[, u(n+1)=f(u(n)) avec f contractante sur [2,+inf[.
Donc u converge vers un point fixe de f, dans [2,+inf[

Pourquoi parler de monotonie ?

[nodjim]

Pour être plus précis.
Tu vérifies l'existence de a=2+1/a².
Tu poses un=a+x avec 2 < a < 2,25 et 0 < x < 1/4
u(n+1)=2+1/(a+x)²=2+1/a²-y=a-y
Il te reste à vérifier que y < x.
y=1/a²-1/(a+x)² < 1/4(1-1/(1+x/2)²)
Termine.