TS Théoréme de Bézout

[Ayato]

Salut :we:

J'ai un exercice sur le théorème de Bézout mais je ne comprends pas..


Voilà l'exercice :

Soit n un entier naturel non nul
En utilisant le théorème de Bézout, montrer que :

1) 9n+4 et 2n+1 sont premiers entre eux

2) n^2+2n-2 et n-1 sont premiers entre eux

3) (n+1)^2 et n+2 sont premiers entre eux

J'ai réussi à faire le 1 sans vraiment utiliser le théorème de Bézout

Voilà ma réponse :
D'après le théorème de Bézout si a et b sont premiers entre eux alors il existe u et v de Z (entier relatif le Z bizarre)
tel que : au+bv=1

Donc : (9n+4)u+(2+1)=1

On cherche à supprimer les n donc :
;)1 = (9n+4)(-2)+(2n+1)9= 1
;)2 = (9n+4)2+(2n+1)(-9)= 1

Ou ;)1 et ;)2 sont les deux propositions avec l'une des deux possibles.

;)1 = -18n-8+18n+9 = 1 Vrai
;)2 = 18+8-18n-9 ;) 1 Faux

Donc u=-2 et v=9
Cqfd


Voilà je n'ai pas du tout utiliser le théorème de Bézout et ma phrase "Ou ;)1 et ;)2 sont les deux propositions avec l'une des deux possibles." j'ai un peu l'impression que c'est incorrecte d'écrire ça..

Les deux autres je n'y suis pas arriver si vous pouviez m'aidez merci j'ai pensé à utiliser l'algorithme d'Euclide ? Mais dans la consigne il précise bien "en utilisant le théorème de Bézout".... Utiliser le pgcd ? Je suis perdu..

[chan79]

salut
tu as trouvé les deux coef (-2 et 9) pour que l'égalité de Bézout soit vérifiée. C'est OK.
Pour la suivante:
n²+2n-2-n(n-1)=3n-2
n²+2n-2-n(n-1)-3(n-1)=3n-2-3n+3=1
ce qui fait:

(n²+2n-2)+(-n-3)(n-1)=1
donc ...

[Ayato]

Merci j'ai finalement trouvé :)

[bellachia2012]

C'est juste que tu as fais.

[zygomatique]

tout est dit ici :: http://www.ilemaths.net/sujet-theoreme-de-bezout-660821.html

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