T.S courbes, limites et nombres complexes.

[Anonyme]

Bonjour,
J'ai trois exercices sur les limites et les nombres complexes;

J'aimerai savoir si je n'ai pas fait d'erreur et corriger mes erreurs ou
combler mes "vides".
Voici le premier énoncé, les autres arriveront plus tard:

Soit la fonction définie par: f(x) = (3x² - 14x + 11) / (x- 4)

Soit (C) la courbe représentative de f.
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Déterminer les limites aux bornes de l'ensembl de défenition.
3. Montrer que la droite (D) d'équation y = 3x - 2 est asymptote à (C).
4. Préciser la position relative de (C) par rapport à (D).
5. Montrer que le point A de coordonées (-2 ; -3) est centre de symétrie
de (C).


1.
f(x) = (3x² - 14x + 11) / (x- 4)

Valeurs interdites:
x=4

D'où:
L'ensemble de définition:
]-oo ; 4 [ u ]4 ; +oo[

(oo = infini).

2.
lim f(x) :
x-> -oo

lim (3x² - 14x + 11) = lim 3x² = +oo
x-> -oo x-> -oo

(Règle utilisée: la limite d'un polynôme en ± l'infinie est égale à la
limite en ± l'infinie du terme du plus haut degré).

lim (x - 4) = -oo
x-> -oo


On fait le quotient:
lim f(x) = Forme indéterminée (l'infinie sur l'infinie).
x-> -oo

On met x en facteur:
(x² ( 3 - 14/x + 11/x²)) / (x ( 1-(4/x)))

On simplifie par x:
(x ( 3 - 14/x + 11/x²)) / (1 - 4/x)

lim (x ( 3 - 14/x + 11/x²)) = -oo
x-> -oo

lim 1 - 4/x = 1
x-> -oo

on fait le quotient:
lim (f(x) = -oo
x-> -oo

Même raisonnement pour x-> +oo et on trouve:
lim f(x) = +oo
x-> + oo


Ensuite, quand x-> 4.
lim f(x):
x-> 4


lim 3x² - 14x + 11 = 3
x-> 4

lim (x- 4) = 0
x-> 4

donc lim f(x) = +oo
x-> 4



Pour lim f(x) quand x tend vers 4, je ne sais pas si je dois faire ceci:
lim f(x)
x-> 4
x> 4

Puis:
lim f(x)
x-> 4
x ± oo

La droite (D) est bien asymptote à (C).
(On peut même ajouter Asymptote Oblique).

4.
J'ai fait ceci, mais ne suis pas sûr de la méthode à utiliser:

x____________|-oo_________4__________+oo_
| |
f(x)_________|_____+______|_____+________
| |
3x-2 ________|_____-______|_____+________
| |
f(x) - (3x-2)| - | +



Donc la droite (D) serait au dessous de (C) quand x4.

5.
Comment fare ?

[Anonyme]

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
418245f3$0$4162$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
> J'ai trois exercices sur les limites et les nombres complexes;
>
> J'aimerai savoir si je n'ai pas fait d'erreur et corriger mes erreurs ou
> combler mes "vides".
> Voici le premier énoncé, les autres arriveront plus tard:
>
> Soit la fonction définie par: f(x) = (3x² - 14x + 11) / (x- 4)
>
> Soit (C) la courbe représentative de f.
> 1. Déterminer son ensemble de définition.
> 2. Déterminer les limites aux bornes de l'ensembl de défenition.
> 3. Montrer que la droite (D) d'équation y = 3x - 2 est asymptote à (C).
> 4. Préciser la position relative de (C) par rapport à (D).
> 5. Montrer que le point A de coordonées (-2 ; -3) est centre de symétrie
> de (C).
>
>
> 1.
> f(x) = (3x² - 14x + 11) / (x- 4)
>
> Valeurs interdites:
> x=4
>
> D'où:
> L'ensemble de définition:
> ]-oo ; 4 [ u ]4 ; +oo[
>
> (oo = infini).
>

Exact

> 2.
> lim f(x) :
> x-> -oo
>
> lim (3x² - 14x + 11) = lim 3x² = +oo
> x-> -oo x-> -oo
>
> (Règle utilisée: la limite d'un polynôme en ± l'infinie est égale à la
> limite en ± l'infinie du terme du plus haut degré).
>
> lim (x - 4) = -oo
> x-> -oo
>
>
> On fait le quotient:
> lim f(x) = Forme indéterminée (l'infinie sur l'infinie).
> x-> -oo
>
> On met x en facteur:
> (x² ( 3 - 14/x + 11/x²)) / (x ( 1-(4/x)))
>
> On simplifie par x:
> (x ( 3 - 14/x + 11/x²)) / (1 - 4/x)
>
> lim (x ( 3 - 14/x + 11/x²)) = -oo
> x-> -oo
>
> lim 1 - 4/x = 1
> x-> -oo
>
> on fait le quotient:
> lim (f(x) = -oo
> x-> -oo
>
> Même raisonnement pour x-> +oo et on trouve:
> lim f(x) = +oo
> x-> + oo
>

C'est bon mais normalement il y a des résultats supposés acquis qui
permettent de répondre plus vite ( soit en + ou - oo, (3x² - 14x + 11) /
(x- 4) est "équivalent" à 3x mais peut-être n'as-tu pas encore vu ce genre
de raisonnement et tu fais bien de le redémontrer ... Méthode simple : voir
plus loin l'écriture f(x) = 3x-2 + 3/(x-4) qui permet de conclure très vite
: la somme d'un terme qui tend vers l'infini et d'un terme qui tend vers 0
....)


>
> Ensuite, quand x-> 4.
> lim f(x):
> x-> 4
>
>
> lim 3x² - 14x + 11 = 3
> x-> 4
>
> lim (x- 4) = 0
> x-> 4
>
> donc lim f(x) = +oo
> x-> 4
>
>
>
> Pour lim f(x) quand x tend vers 4, je ne sais pas si je dois faire ceci:
> lim f(x)
> x-> 4
> x> 4
>
> Puis:
> lim f(x)
> x-> 4
> x
> ??
>

Oui, il faut faire les 2 cas, qd x tend vers 4 par valeurs inférieures et
par valeurs supérieures

( x-4) tend vers 0+ ou 0- donc f(x) tend vers + ou - oo

>
> 3.
> La droite (D) d'équation 3x-2 est asymptote à (C) si:
> lim (f(x) - (3x-2)) = 0
>
> f(x) - (3x-2) = [(3x² - 14x + 11) / (x- 4)] - [(3x² - 12x - 2x + 8) / (x -
> 4)]
>
> = 3 / (x-4)
>
> lim 3/(x-4) = 0
> x-> ± oo
>
> La droite (D) est bien asymptote à (C).
> (On peut même ajouter Asymptote Oblique).
>

Parfait

> 4.
> J'ai fait ceci, mais ne suis pas sûr de la méthode à utiliser:
>
> x____________|-oo_________4__________+oo_
> | |
> f(x)_________|_____+______|_____+________
> | |
> 3x-2 ________|_____-______|_____+________
> | |
> f(x) - (3x-2)| - | +
>
>
>
> Donc la droite (D) serait au dessous de (C) quand x et au dessus de (C) quand x>4.
>

Dans la question 3) tu pouvais aussi écrire : f(x) = 3x-2 + 3/(x-4)
si x4 : 3/(x-4)>0 donc ...


> 5.
> Comment fare ?

Es-tu sûr de l'énoncé ? Je verrais le point (4,10) comme centre de symétrie

pour tout t>0, il faudrait alors que f(4+t) + f(4-t) = 20, ce qui se montre
facilement en utilisant l'écriture simplifiée de f(x) : 3x-2 + 3/(x-4)

Bon courage.

[Anonyme]

Christian a écrit :
> "Alexandre" a écrit dans le message de news:
> 418245f3$0$4162$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Bonjour,
>>J'ai trois exercices sur les limites et les nombres complexes;
>>
>>J'aimerai savoir si je n'ai pas fait d'erreur et corriger mes erreurs ou
>>combler mes "vides".
>>Voici le premier énoncé, les autres arriveront plus tard:
>>
>>Soit la fonction définie par: f(x) = (3x² - 14x + 11) / (x- 4)
>>
>>Soit (C) la courbe représentative de f.
>>1. Déterminer son ensemble de définition.
>>2. Déterminer les limites aux bornes de l'ensembl de défenition.
>>3. Montrer que la droite (D) d'équation y = 3x - 2 est asymptote à (C).
>>4. Préciser la position relative de (C) par rapport à (D).
>>5. Montrer que le point A de coordonées (-2 ; -3) est centre de symétrie
>>de (C).
>>[/color]




2.

> C'est bon mais normalement il y a des résultats supposés acquis qui
> permettent de répondre plus vite ( soit en + ou - oo, (3x² - 14x + 11) /
> (x- 4) est "équivalent" à 3x mais peut-être n'as-tu pas encore vu ce genre
> de raisonnement et tu fais bien de le redémontrer ... Méthode simple : voir
> plus loin l'écriture f(x) = 3x-2 + 3/(x-4) qui permet de conclure très vite
> : la somme d'un terme qui tend vers l'infini et d'un terme qui tend vers 0
> ...)


Ça ne me dit rien, j'ai regardé dans mon cours, mais non.

[color=green]
>>Pour lim f(x) quand x tend vers 4, je ne sais pas si je dois faire ceci:
>>lim f(x)
>>x-> 4
>>x> 4
>>
>>Puis:
>>lim f(x)
>>x-> 4
>>x>
>>??
>>
>
>
> Oui, il faut faire les 2 cas, qd x tend vers 4 par valeurs inférieures et
> par valeurs supérieures
>
> ( x-4) tend vers 0+ ou 0- donc f(x) tend vers + ou - oo[/color]

C'est bien les deux solutions que j'avais trouvé, mais ne savais pas si
je devais ou non les mettre.
Je corrige ça.
[color=green]
>>4.
>>J'ai fait ceci, mais ne suis pas sûr de la méthode à utiliser:
>>
>>x____________|-oo_________4__________+oo_
>> | |
>>f(x)_________|_____+______|_____+________
>> | |
>>3x-2 ________|_____-______|_____+________
>> | |
>>f(x) - (3x-2)| - | +
>>
>>
>>
>>Donc la droite (D) serait au dessous de (C) quand x>et au dessus de (C) quand x>4.
>>
>
>
> Dans la question 3) tu pouvais aussi écrire : f(x) = 3x-2 + 3/(x-4)
> si x si x>4 : 3/(x-4)>0 donc ...[/color]


L'équation f(x) = 3x-2 + 3/(x-4) se trouve t-elle grâce à des "des
résultats supposés acquis qui permettent de répondre plus vite" ?
Si oui, je pense que je vais garder ce que j'ai mis, parce que ça ne me
rappelle rien.


>[color=green]
>>5.
>>Comment faire ?[/color]


> Es-tu sûr de l'énoncé ?

Je l'ai lu, et relu, puis ai vérifié par deux fois si je n'avais pas
fait de faute de frappe, .. mais non. C'est bien ça.



> Bon courage.

Merci.
>

[Anonyme]

> L'équation f(x) = 3x-2 + 3/(x-4) se trouve t-elle grâce à des "des
> résultats supposés acquis qui permettent de répondre plus vite" ?
> Si oui, je pense que je vais garder ce que j'ai mis, parce que ça ne me
> rappelle rien.
>

Non, c'est juste une façon de réécrire l'équation pour simplifier les
calculs :

f(x) = (3x² - 14x + 11) / (x- 4) = (3x² - 12x - 2x + 11) / (x- 4)
= 3x + (-2x+11)/(x-4) = 3x - (2x-11)/(x-4)
= 3x - (2x-8-3)/(x-4) = 3x -2 + 3/(x-4)

[Anonyme]

Merci.

L'exercice 1 est presque fini, il me reste la cinquième question, j'y
reviendrai plus tard.
Voici le deuxième exercice, pour le 1. tout va bien, mais pour le 2. je
ne comprends pas, je ne trouve pas la même chose que la calculatrice.

Voici l'énoncé:
Déterminer les limites suivantes:

lim (rac.(2x+5) - 1) / (x² + 3x + 2)
x-> -2

lim rac. (x² + x +3) +x
x-> -oo

(oo = infinie)


En faisant directement la limite, on trouve une forme indéterminée de la
forme "0/0"

Ma méthode:
x² + 3x + 2 = [x² + 2*x*3/2 + 9/4] - 9/4 + 2
= (x + 3/2)² - 1/4
= (x + 3/2 - 1/2)(x + 3/2 + 1/2)
= (x + 1)(x+2)


(rac.(2x+5) - 1) / (x+1)(x+2)
= (rac.(2x+5) - 1)(rac.(2x+5) + 1) / (x+1)(x+2)(rac.(2x+5) + 1)

= (2x + 5 - 1) / (x+1)(x+2)(rac.(2x+5) + 1)

= 2(x + 2) / (x+1)(x+2)(rac.(2x+5) + 1)

= 2 / (x+1)(rac.(2x+5) + 1)

lim (x + 1) = -1
x-> -2

lim (rac.(2x+5) + 1) = 2
x-> -2

Produit des deux:
lim x+1)(rac.(2x+5) + 1) = -2
x-> -2

Donc lim 2 / (x+1)(rac.(2x+5) + 1) = -1
x-> -2


Pour le deuxième, je ne trouve pas la même chose que la calculatrice,
qui a tort ? qui a raison ?


lim rac. (x² + x +3) + x
x-> -oo


J'ai essayé de deux façons différentes:

lim x² + x +3 = lim x² = +oo
x-> -oo

Donc lim rac. (x² + x + 3) = +oo
x-> -oo

lim x = -oo
x-> -oo

En additionnant les deux, on tombe sur une forme indéterminée
" (-oo) + (+oo) "


rac. (x² + x + 3) + x = rac.(x² (1 + 1/x + 3/x²)) + x
= x.Rac. (1 + 1/x + 3/x²) + x
= x (rac. (1 + 1/x + 3/x²) + 1)

lim x = -oo
x-> -oo

lim rac.(1 + 1/x + 3/x²) + 1) = 2
x-> -oo

Produit des deux:
lim x (rac. (1 + 1/x + 3/x²) + 1) = -oo
x-> - oo

La calculatrice me donne -1/2 !?

Je ne comprends pas comment on fait pour avoir ce résultat.
Peut être ai-je fait une erreur, mais où ?

[Anonyme]

Salut

Alexandre wrote:
> Merci.
>
> L'exercice 1 est presque fini, il me reste la cinquième question, j'y
> reviendrai plus tard.
> Voici le deuxième exercice, pour le 1. tout va bien, mais pour le 2.
> je ne comprends pas, je ne trouve pas la même chose que la
> calculatrice.
>
> Voici l'énoncé:
> Déterminer les limites suivantes:
>
> lim (rac.(2x+5) - 1) / (x² + 3x + 2)
> x-> -2
>
> lim rac. (x² + x +3) +x
> x-> -oo
>
> (oo = infinie)
>
>
> En faisant directement la limite, on trouve une forme indéterminée de
> la forme "0/0"
>
> Ma méthode:
> x² + 3x + 2 = [x² + 2*x*3/2 + 9/4] - 9/4 + 2
> = (x + 3/2)² - 1/4
> = (x + 3/2 - 1/2)(x + 3/2 + 1/2)
> = (x + 1)(x+2)
>
>
> (rac.(2x+5) - 1) / (x+1)(x+2)
> = (rac.(2x+5) - 1)(rac.(2x+5) + 1) / (x+1)(x+2)(rac.(2x+5) + 1)
>
> = (2x + 5 - 1) / (x+1)(x+2)(rac.(2x+5) + 1)
>
> = 2(x + 2) / (x+1)(x+2)(rac.(2x+5) + 1)
>
> = 2 / (x+1)(rac.(2x+5) + 1)
>
> lim (x + 1) = -1
> x-> -2
>
> lim (rac.(2x+5) + 1) = 2
> x-> -2
>
> Produit des deux:
> lim x+1)(rac.(2x+5) + 1) = -2
> x-> -2
>
> Donc lim 2 / (x+1)(rac.(2x+5) + 1) = -1
> x-> -2

jusque là c tout bon



> Pour le deuxième, je ne trouve pas la même chose que la calculatrice,
> qui a tort ? qui a raison ?
>
>
> lim rac. (x² + x +3) + x
> x-> -oo
>
>
> J'ai essayé de deux façons différentes:
>
> lim x² + x +3 = lim x² = +oo
> x-> -oo
>
> Donc lim rac. (x² + x + 3) = +oo
> x-> -oo
>
> lim x = -oo
> x-> -oo
>
> En additionnant les deux, on tombe sur une forme indéterminée
> " (-oo) + (+oo) "
>
>
> rac. (x² + x + 3) + x = rac.(x² (1 + 1/x + 3/x²)) + x
> = x.Rac. (1 + 1/x + 3/x²) + x

voila ton erreur : en effet rac(x²) n'est pas égal à x mais à abs(x) !
comme tu cherche la limite lorsque x tend vers -oo, ton expression devient :
= -x.rac(1+1/x+3/x²)+x
et en mettant en facteur puis en passant par la limite, tu as une forme
0*-oo donc non résolvable directement.
Fait la même chose que précédemment en te servant de l'expression conjuguée
et tu devrait avoir un premier degré au numérateur, ainsi qu'une expression
de la forme x*(rac(...)+1) au dénominateur et en simplifiant par x en haut
et en bas , tu trouveras une expression sentant bon la limite !!!

>
> La calculatrice me donne -1/2 !?
>
c'est en effet le bon résultat que tu vas bientôt trouver!!
A+
Guiz

[Anonyme]

>>rac. (x² + x + 3) + x = rac.(x² (1 + 1/x + 3/x²)) + x[color=green]
>>= x.Rac. (1 + 1/x + 3/x²) + x[/color]

....

> Fait la même chose que précédemment en te servant de l'expression conjuguée
> et tu devrait avoir un premier degré au numérateur, ainsi qu'une expression
> de la forme x*(rac(...)+1) au dénominateur et en simplifiant par x en haut
> et en bas , tu trouveras une expression sentant bon la limite !!!


Comment fait-on pour avoir l'expression conjuguée ?

Pour un nombre complexe, c'est simple, mais là, je ne sais pas .. je
n'ai aps de nombre complexe !?

[Anonyme]

Alexandre wrote:[color=green][color=darkred]
>>> rac. (x² + x + 3) + x = rac.(x² (1 + 1/x + 3/x²)) + x
>>> = x.Rac. (1 + 1/x + 3/x²) + x[/color]
>
> ...
>
>> Fait la même chose que précédemment en te servant de l'expression
>> conjuguée et tu devrait avoir un premier degré au numérateur, ainsi
>> qu'une expression de la forme x*(rac(...)+1) au dénominateur et en
>> simplifiant par x en haut et en bas , tu trouveras une expression
>> sentant bon la limite !!!
>
>
> Comment fait-on pour avoir l'expression conjuguée ?
>
> Pour un nombre complexe, c'est simple, mais là, je ne sais pas .. je
> n'ai aps de nombre complexe !?[/color]

tu fais :
(rac(x²+x+3)+x)*(rac(x²+x+3)-x)/(rac(x²+x+3)-x)
=(x²+x+3-x²)/(rac(x²+x+3)-x)
=(x+3)/(rac(x²+x+3)-x)
ici tu "simplifie" la racine : rac(x²(1+1/x+3/x²))=abs(x)*rac(1+1/x+3/x²)
comme tu cherches la limite en -oo, tu remplace abs(x) par -x et tu met en
facteur x :
-x*rac(1+1/x+3/x²)-x=-x*(rac(1+1/x+3/x²)+1)
ce qui donne :
(x+3)/(-x*(rac(1+1/x+3/x²)+1)=-(1+3/x)/(rac(1+1/x+3/x²)+1)
or lim 1/x=lim 3/x=lim 3/x²=0
-oo -oo -oo
il te reste donc lim (rac(x²+x+3)+x)=-1/2
x->-oo

voila voila ....

[Anonyme]

Alexandre wrote:[color=green][color=darkred]
>>> rac. (x² + x + 3) + x = rac.(x² (1 + 1/x + 3/x²)) + x
>>> = x.Rac. (1 + 1/x + 3/x²) + x[/color]
>
> ...
>
>> Fait la même chose que précédemment en te servant de l'expression
>> conjuguée et tu devrait avoir un premier degré au numérateur, ainsi
>> qu'une expression de la forme x*(rac(...)+1) au dénominateur et en
>> simplifiant par x en haut et en bas , tu trouveras une expression
>> sentant bon la limite !!!
>
>
> Comment fait-on pour avoir l'expression conjuguée ?
>
> Pour un nombre complexe, c'est simple, mais là, je ne sais pas .. je
> n'ai aps de nombre complexe !?[/color]

l'expression conjuguée vient du fait qu'une expression du style 1/z avec z
complexe s'exprimant par a+ib donne :
1/z=1/(a+ib)=(a-ib)/((a+ib)*(a-ib))=(a-ib)/(a²+b²)
pour une racine on s'inspire de la même méthode pour faire "disparaitre" une
racine au numérateur ou au dénominateur.

[Anonyme]

Merci, j'ai refait la question et ça marche.
(Ouf!)

Voici l'énoncé du troisième et dernier exercice, celui-ci se présente en
deux parties.

Partie A:
On note j le nombre complexe e^(2*i*pi / 3)

1. Montrer les propriétés suivantes de j:

a. j = -1/2 + i*rac.(3) / 2

b. j³ = 1

c. 1 + j + j² = 0

d. -j² = e^(i*pi / 3)

2. Dans un repère orthonormal direct du plan complexe, on considère les
points M, N, P d'affixes respectives m, n, p.

2a. Montrer que, si le triangle MNP est équilatéral direct,
alors m - n = -j²(p - n)

2b. Etablir la propriété suivante:
Le triangle MNP est équilatéral direct si et seulement si m + nnj + pj² = 0


Partie B:
On considère un cercle du plan O et des points A, B, C, D, E et F de ce
cercle tels que les angles:
(OA, OB) ; (OC, OD) ; (OE, OF) aient la même mesure: pi/3

Soit M, N et P les milieux respectifs des segments [BC], [DE], [FA]
Montrer que le triangle MNP est équilatéral direct.



Partie A:

1a.
j = e^(2*i*pi / 3)
= cos 2pi / 3 + i*sin 2pi / 3
= -1/2 + i*rac.(3) / 2

1b.
j³ = e^(2*i*pi)
= cos 2pi + i*sin 2pi
=1

1c.
1 + j + j² = 1 + e^(2*i*pi / 3) + e^(-2*i*pi / 3)
= 1 -1/2 + i*rac.(3) / 2 -1/2 - i*rac.(3) / 2
=0

1d.
-j² = - [e^(-2*i*pi / 3)]
= - [-1/2 - i*rac.(3) / 2]
= 1/2 + i* rac.(3) / 2

e^(i*pi / 3) = cos pi / 3 + i* sin pi / 3
= 1/2 + i* rac.(3) / 2


Par contre le 2a. m'embête un peu, je ne sais pas comment faire.
Je sais qu'on peut parler de la transformation par rotation, mais je n'y
arrive pas.

2b. Je ne sais pas comment faire.

Partie B, je n'ai pas encore regardé.

[Anonyme]

Alexandre wrote:
> Partie A:
>
> 1a.
> j = e^(2*i*pi / 3)
> = cos 2pi / 3 + i*sin 2pi / 3
> = -1/2 + i*rac.(3) / 2

ok

> 1b.
> j³ = e^(2*i*pi)
> = cos 2pi + i*sin 2pi
> =1

ok
> 1c.
> 1 + j + j² = 1 + e^(2*i*pi / 3) + e^(-2*i*pi / 3)
> = 1 -1/2 + i*rac.(3) / 2 -1/2 - i*rac.(3) / 2
> =0

ok mais petite astuce en passant :
(1+j+j²)*(j-1)=j+j²+j^3-1-j-j²=j^3-1
or d'après la question précédente, j^3-1=0 donc 1+j+j²=0 car j-10

> 1d.
> -j² = - [e^(-2*i*pi / 3)]
> = - [-1/2 - i*rac.(3) / 2]
> = 1/2 + i* rac.(3) / 2
>
> e^(i*pi / 3) = cos pi / 3 + i* sin pi / 3
> = 1/2 + i* rac.(3) / 2

sans dévelloper les exponentielles c'est mieux :
-j²=-1*j²=e^(-i*pi)*e^(4*i*pi/3)=e^((4*pi/3-pi)i)=e^(pi*i/3) à 2kpi prés
bien sûr!!!

> Par contre le 2a. m'embête un peu, je ne sais pas comment faire.
> Je sais qu'on peut parler de la transformation par rotation, mais je
> n'y arrive pas.

c'est en effet la bonne solution :
exprime le vecteur NP en fonction du vecteur NM , on a :
vect(NP)=rot(vect(NM),-pi/3) puisque l'angle est indirect
donc p-m=(m-n)*e^(-i*pi/3)
et ensuite sert toi de la question 1d pour conclure.

> 2b. Je ne sais pas comment faire.
>
dévellope donc l'expression à trouver dans le 2a et sert toi encore une fois
d'une des questions du 1.

> Partie B, je n'ai pas encore regardé.

quand tu veux !!!!

[Anonyme]

> exprime le vecteur NP en fonction du vecteur NM , on a :
> vect(NP)=rot(vect(NM),-pi/3) puisque l'angle est indirect
> donc p-m=(m-n)*e^(-i*pi/3)
> et ensuite sert toi de la question 1d pour conclure.

p-m=(m-n)*e^(-i*pi/3)
Ce ne serait pas plutôt p-n=(m-n)*e^(-i*pi/3) (puisque c'est le vecteur
NP) ?

J'ai essayé avec les 2 mais n'y arrive pas, je ne comprends pas, on part
de ceci:
p-m=(m-n)*e^(-i*pi/3)
(ou ceci: p-n=(m-n)*e^(-i*pi/3))

Et on doit se retrouver avec un -j² (p - n).

??

[color=green]
>>2b. Je ne sais pas comment faire.
>>
>
> dévellope donc l'expression à trouver dans le 2a et sert toi encore une fois
> d'une des questions du 1.[/color]


On admet que m - n = -j² (p - n)
m - n = -j²(p - n)
= -j² * p + j² * n

m - n + j² *p - j² *n = 0
m + j² *p + n( -j² - 1) = 0

On sait que:
1 + j + j² = 0
=> j = -j² - 1

=> m + j² *p + n( -j² - 1) = m + j² *p + n*j = 0
=> m + nj + pj² = 0


Voilà.

[Anonyme]

Alexandre wrote:[color=green]
>> exprime le vecteur NP en fonction du vecteur NM , on a :
>> vect(NP)=rot(vect(NM),-pi/3) puisque l'angle est indirect
>> donc p-m=(m-n)*e^(-i*pi/3)
>> et ensuite sert toi de la question 1d pour conclure.
>
> p-m=(m-n)*e^(-i*pi/3)
> Ce ne serait pas plutôt p-n=(m-n)*e^(-i*pi/3) (puisque c'est le
> vecteur NP) ?[/color]

oui c'est ca désolé de la faute de frappe!

> J'ai essayé avec les 2 mais n'y arrive pas, je ne comprends pas, on
> part de ceci:
> p-m=(m-n)*e^(-i*pi/3)
> (ou ceci: p-n=(m-n)*e^(-i*pi/3))
>
> Et on doit se retrouver avec un -j² (p - n).
>
> ??
>

bon allez je te le donne mais c'est pas très dur :
p-n=(m-n)*e^(-i*pi/3) donc m-n=(p-n)/e^(-i*pi/3)
or 1/e^(-a)=e^(a) donc 1/e^(-i*pi/3)=e^(i*pi/3)

donc m-n=(p-n)*e^(i*pi/3) et d'après 1d, e^(i*pi/3)=-j²
donc
m-n=-j²(p-n)
CQFD
[color=green][color=darkred]
>>> 2b. Je ne sais pas comment faire.
>>>
>>
>> dévellope donc l'expression à trouver dans le 2a et sert toi encore
>> une fois d'une des questions du 1.[/color]
>
>
> On admet que m - n = -j² (p - n)
> m - n = -j²(p - n)
> = -j² * p + j² * n
>
> m - n + j² *p - j² *n = 0
> m + j² *p + n( -j² - 1) = 0
>
> On sait que:
> 1 + j + j² = 0
> => j = -j² - 1
>
> => m + j² *p + n( -j² - 1) = m + j² *p + n*j = 0
> => m + nj + pj² = 0
>
>
> Voilà.[/color]

Très bien pas de pb!!!!

[Anonyme]

>>>exprime le vecteur NP en fonction du vecteur NM , on a :[color=green][color=darkred]
>>>vect(NP)=rot(vect(NM),-pi/3) puisque l'angle est indirect
>>>donc p-m=(m-n)*e^(-i*pi/3)
>>>et ensuite sert toi de la question 1d pour conclure.[/color][/color]

> bon allez je te le donne mais c'est pas très dur :
> p-n=(m-n)*e^(-i*pi/3) donc m-n=(p-n)/e^(-i*pi/3)
> or 1/e^(-a)=e^(a) donc 1/e^(-i*pi/3)=e^(i*pi/3)
>
> donc m-n=(p-n)*e^(i*pi/3) et d'après 1d, e^(i*pi/3)=-j²
> donc
> m-n=-j²(p-n)
> CQFD


Je l'ai refait, ça marche ..


Pour la partie B:

Si MNP est un triangle équilatéral, alors:
(PM, MN) = (MN, NP) = (NP, PM) = pi / 3

On sait que A, B, C, D, E et F appartiennent au cercle et les angles
OAB, COD, EOF valent 60° (pi/3) donc les trangles sont équilatéraux.


Je pense qu'on peut aussi utiliser la propriété trouvée en 2b.

(Le triangle MNP est équilatéral direct ssi m + nj + pj² = 0)

Avec j = pi/3.

Mais je ne sais pas comment trouver m, n et p.

[Anonyme]

Alexandre wrote:
> Pour la partie B:
>
> Si MNP est un triangle équilatéral, alors:
> (PM, MN) = (MN, NP) = (NP, PM) = pi / 3
>
> On sait que A, B, C, D, E et F appartiennent au cercle et les angles
> OAB, COD, EOF valent 60° (pi/3) donc les trangles sont équilatéraux.
>
>
> Je pense qu'on peut aussi utiliser la propriété trouvée en 2b.
>
> (Le triangle MNP est équilatéral direct ssi m + nj + pj² = 0)
>
> Avec j = pi/3.
>
> Mais je ne sais pas comment trouver m, n et p.

tu es sur la bonne voie
sache que M,N,P milieux respectifs de [BC],[DE] et [FA] donc
m=(zb+zc)/2 , n=(zd+ze)/2 , p=(zf+za)/2
de plus zb=za*e^(i*pi/3)=-j²*za
zd=zc*e^(i*pi/3)=-j²*zc
zf=ze*e^(i*pi/3)=-j²*ze
on remplace tout ça dans l'expression m+nj+pj² et tu doit trouver 0.
A+

[Anonyme]

> sache que M,N,P milieux respectifs de [BC],[DE] et [FA] donc
> m=(zb+zc)/2 , n=(zd+ze)/2 , p=(zf+za)/2
> de plus zb=za*e^(i*pi/3)=-j²*za
> zd=zc*e^(i*pi/3)=-j²*zc
> zf=ze*e^(i*pi/3)=-j²*ze
> on remplace tout ça dans l'expression m+nj+pj² et tu doit trouver 0.


J'ai trouvé 0, je ne sais pas si oui ou non j'ai fait des erreurs, en
tout cas ça m'a l'air correct:

On sait que:
m=(zb+zc)/2 , n=(zd+ze)/2 , p=(zf+za)/2
et que:
zb= -j²*za
zd= -j²*zc
zf= -j²*ze

(Puisque ce sont des triangles équilatérals).


(Petite paranthèse avant de continuer:
> Je pense qu'on peut aussi utiliser la propriété trouvée en 2b.
>
> (Le triangle MNP est équilatéral direct ssi m + nj + pj² = 0)
>
> Avec j = pi/3.
(J'avais écrit ceci, je ne sais pas si c'est correct, mais de toute
façon on en a pas vraiment besoin).
(fin de paranthèse).


On a:
m= (-j²*za + zc) / 2
n= (-j²*zc + ze) / 2
p= (-j²*ze + zf) / 2

Donc:
(-j²*za + zc) / 2 + j * (-j²*zc + ze) / 2 + j² * (-j²*ze + zf) / 2

=(za * (-j²) + zc + (-j³)*zc + j * ze + ze (-j²*j²) + za * j²) / 2

=(za (j² - j²) + zc (-j³ + 1) + ze [j + (-j^4)]) / 2

=( 0 + zc (-1 + 1) + ze [j (-j³ + 1)]) / 2

= (0 + 0 + ze * 0) / 2

= 0 / 2

=0

Le triangles MNP est équilatéral direct.




(Si ça c'est bon, me reste plus qu'à revenir sur la dernière question
du premier exercice).