Différentielles exactes/fermées, courbes fermées

[Anonyme]

salut,

on me demande si une courbe (r² = cos(2a) en polaire, le lemniscate de
bernoulli pour les matheux), est une courbe fermée.

est-ce le même "fermé" que celui qui qualifie une "différentielle
fermée" ? comment le montrer ?
la périodicité est-elle un argument suffisant ?


en ce qui concerne une forme différentielle je me demande ce que
signifie exactement le fait qu'elle soit fermée. j'ai vu plusieurs
définitions sur le net, je pige plus.

j'ai vu notamment dans le post suivant sur ce même ng :
http://groups.google.fr/groups?hl=fr&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&threadm=9buo8p%24j2j%241%40wanadoo.fr&rnum=1&prev=/groups%3Fq%3D%2522diff%25C3%25A9rentielle%2Bferm%25C3%25A9e%2522%2Bd%25C3%25A9finition%26hl%3Dfr%26lr%3D%26ie%3DUTF-8%26oe%3DUTF-8%26selm%3D9buo8p%2524j2j%25241%2540wanadoo.fr%26rnum%3D1

(dsl si c coupé)

qui dit en gros :

une différentielle fermée est telle que df = 0.
ok soit.

et ensuite je vois :
w = P(x,y)dx + Q(x,y)dy est fermée, si dP/dy = dQ/dx

et ça, je pensais que ct la condition nécéssaire pour que la
différentielle soit EXACTE ! (schwarz)

donc qu'est-ce, vraiment, qu'une différentielle fermée ??


merci!

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com

[Anonyme]

Nicolas Aunai a écrit :
> est-ce le même "fermé" que celui qui qualifie une "différentielle
> fermée" ? comment le montrer ?
> la périodicité est-elle un argument suffisant ?

Ben euh... dans le cadre d'une courbe donnée comme ça, je dirais que le
but c'est de trouver une paramétrisation Gamma [0;1] -> R^2, de l'image,
telle que:
Gamma([0;1]) = Le lemniscate et telle que Gamma(0) = Gamma(1) ... en
tout cas c'est dans ce cadre qu'on m'a toujours parlé de courbe/chemin
fermé.

> une différentielle fermée est telle que df = 0.

C'est cela.

> w = P(x,y)dx + Q(x,y)dy est fermée, si dP/dy = dQ/dx

En effet, dw = (- dP/dy + dQ/dx) dx^dy
Elle ne vaut 0 que quand dQ/dx = dP/dy
(Rem: je sais calculer une différentielle extérieure mécaniquement mais
je ne sais toujours pas exactement pourquoi ça marche, il faut pas me
demander plus que ça...)

> et ça, je pensais que ct la condition nécéssaire pour que la
> différentielle soit EXACTE ! (schwarz)

Une forme est exacte si elle est la différentielle d'une forme de degré
inférieur. Càd si il existe f tel que df = w.
Or on a que dw = d(df) = 0 car la différentielle d'une différentielle
est toujours nulle. Bref il faut au moins qu'elle soit fermée. Et un
petit lemme (de Poincaré) nous dit que si une forme sur R^n (plus
généralement un domaine étoilé suffit mesembletil) est fermée alors elle
est exacte.

--
Nico, qui a bien appris sa leçon... j'espère.

[Anonyme]

Nicolas Richard wrote:

> Nicolas Aunai a écrit :[color=green]
> > est-ce le même "fermé" que celui qui qualifie une "différentielle
> > fermée" ? comment le montrer ?
> > la périodicité est-elle un argument suffisant ?
>
> Ben euh... dans le cadre d'une courbe donnée comme ça, je dirais que le
> but c'est de trouver une paramétrisation Gamma [0;1] -> R^2, de l'image,
> telle que:
> Gamma([0;1]) = Le lemniscate et telle que Gamma(0) = Gamma(1) ... en
> tout cas c'est dans ce cadre qu'on m'a toujours parlé de courbe/chemin
> fermé.[/color]

Ouais, je me demande si le type qui a rédigé la question serait capable
de formuler en termes précis ce qu'il entend par « courbe fermée ».
Grosso modo, j'ai l'impression qu'« on » (en particulier les
physiciens ?) appelle de manière un peu vague « variétés fermées »
(notamment de courbes fermées, surfaces fermées) les variétés compactes
sans bord.

Mais le machin dont on parle ici n'est même pas une variété
différentiable, donc bon, je ne vois pas bien comment être plus
rigoureux qu'en disant que « ça se referme ». J'aurais bien dit
« homéomorphe au cercle » mais ce n'est même pas ça (on dirait sans
doute qu'une lemniscate est une courbe fermée), et ce n'est même pas non
plus « image continue du cercle » (parce qu'un point n'est probablement
pas une courbe fermée). Peut-être « image du cercle par une application
lisse de différentielle presque partout non nulle », mais ça devient un
peu risible, là .

Enfin, ce qui compte, c'est que la réponse attendue est bien « la
paramétrisation est périodique, donc... ».

> (Rem: je sais calculer une différentielle extérieure mécaniquement mais
> je ne sais toujours pas exactement pourquoi ça marche, il faut pas me
> demander plus que ça...)

Pourquoi *quoi* marche ?
[color=green]
> > et ça, je pensais que ct la condition nécéssaire pour que la
> > différentielle soit EXACTE ! (schwarz)
>
> Une forme est exacte si elle est la différentielle d'une forme de degré
> inférieur. Càd si il existe f tel que df = w.[/color]

Pour résumer (parce que je ne suis pas sûr que Nicolas Aunai ait vu les
formes de degré > 1, ni donc la différentielle extérieure en général),
dans le cas d'une 1-forme différentielle C^infty :

w = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

sur un ouvert de R^2, w est fermée lorsque dP/dy = dQ/dx, et exacte
lorsque P et Q sont les dérivées partielles par rapport à x et y d'une
certaine fonction f: R^2->R.

> Or on a que dw = d(df) = 0 car la différentielle d'une différentielle
> est toujours nulle. Bref il faut au moins qu'elle soit fermée. Et un
> petit lemme (de Poincaré) nous dit que si une forme sur R^n (plus
> généralement un domaine étoilé suffit mesembletil) est fermée alors elle
> est exacte.

Yep. On peut encore généraliser un peu le « étoilé » en « simplement
connexe » (i.e. tout lacet dans l'ouvert peut se déformer continûment en
un point). Mais, contre-exemple classique, si l'on prend U le plan privé
de l'origine, et w la partie imaginaire de dz/z :

w = (x dy - y dx)/(x^2+y^2)

on vérifie facilement que w est fermée, mais elle n'est pas exacte
(comme on le voit en l'intégrant sur le cercle unité).

--
And now 'twas like all instruments,
Now like a lonely flute;
And now it is an angel's song,
That makes the Heavens be mute. STC, Rime, 363 sqq.