Equation fonctionnelle [OIM 2015]

[ffpower]

Donc allons y. On suppose f(0)=0, et on veut montrer que f=Id. On veut donc étudier Fix(f)={x |f(x)=x} et montrer que Fix(f)=R

Je résume les propriétés que j'ai écrites dans mon premier post.
1) Pour tout x réel, et
2) et
3) et
(note: mais en réalité, á part 2) je ne vais me servir de quasiment rien de tout ça :p)

Ma ligne de mire est de prouver que .
(J'ai en effet noté un moyen simple de conclure á partir de cette implication).

Suite au prochain post, histoire d'aérer

[ffpower]

Je pars donc de l'équation initiale, en posant un changement de variables :


En particulier:
si et :


En prenant x=1 puis x=-1, j'obtient en particulier les 2 équations suivantes:
Si :



En soustrayant les deux equations:
Si :


Morale de ce post:
Si , vérifie

[ffpower]

Il existe un autre moyen de relier et :

Je repars de l'equation

et je fais z=0:

En remplaçant x par -x:


Je soustrais ces deux dernieres équations pour éliminer le et obtenir une relation entre f(x) et f(-x):

qui peut se réécrire


Morale de ce post:
Pour tout :

[ffpower]

Maintenant, je cumule le résultat des 2 posts précédents:
Si , alors vérifie les deux équations:



La résolution de ce systeme en et donne
et

Conclusion de tout ça:


J'ai dit qu'il était facile de conclure á partir de cette implication. Voyons maintenant pourquoi:

Repartons de l'équation initiale:

Faisons



On sait que (á cause de )
Donc , cad
Du coup, l'equation se simplifie en



:zen:

[chan79]

(Pour ça j ai par exemple reussi á prouver que f(n)=n pour n entier, mais ya peut etre meme plus immediat)

J'ai fait ça aussi, par récurrence. Je regarderai ton autre démo demain. :zen:

[chan79]

Morale de ce post:
Si , vérifie

Bravo pour ta démo !!!
Un petit problème de signe ci-dessus mais qui ne remet pas en cause la suite.
Ca doit être

[ffpower]

Merci :we:

Je rectifie de ce pas cette coquille :++:

[ffpower]

pour le cas f(0)=2, j ai une solution courte:

pour y=1, l equation donne, aprés simplification
f(x+f(x+1))=x+f(x+1), donc:
pour tout x, x+f(x+1) est un point fixe de f

Pour x=0, l'equation devient
f(f(y))+2=f(y)+2y
En particulier, si y est point fixe de f, ça devient
y+2=y+2y
donc y=1. Ainsi
L'unique point fixe éventuel de f est 1

Conclusion:
Pour tout x, x+f(x+1)=1
Ça donne donc f(x)=2-x

[chan79]

Super :++:

[Lostounet]

Bravo ffpower j'adore ta deuxième preuve. :id:
La première il faut que je relise.