Prob d'OIM

[stevi]

salut

montrer que si x,y et z sont des réels positifs tels que x+y+z=1
alors 0<= xy+yz+zx - 2xyz<= 7/27

et merci

[Olympus]

Facile car ce n'est que du Schur + somme de carrés .

L'inégalité est équivalente à :

.

L'inégalité est triviale une fois développé, démontrons donc la deuxième :







Le premier terme est positif d'après l'inégalité de Schur, et la somme est trivialement positive aussi .

CQFD .

[miikou]

salut

f(x,y,z) = xy+yz+zx -2xyz

df/dx = y+z - 2yz = 1-x-2yz

or y+z > 2 * (yz)^1/2 > 2zy ( IAG et x et y < 1 )

donc df/dx > 1-x-y-z = 0

en particulier on aurait alors

f(x,y,z) > f(1,0,0 ) = 0


au passage par symetrie des role le max est obtenu quand x=y=z = 1/3

dans ce cas f(x,y,z) = 7/27


CQFD

[stevi]

merci olympus
mais une petite chose que j'ai essayé de comprendre mais en vain
comment tu utilises ce ;)_sym ?
expliques moi comment et quand l'utiliser
et merci

[Olympus]

@stevi : ce n'est qu'une notation, il décrit la somme sur toutes les permutations des variables x;y;z .

Donc par exemple :

[miikou]

Ma solution pu du cul ? ou alors elle n'est pas assez "olympique" ( lol )

[Olympus]

Ma solution pu du cul ? ou alors elle n'est pas assez "olympique" ( lol )

Si si elle est jolie aussi, elle n'a utilisé qu'une simple étude de fonction + IAG ^^

[miikou]

Si si elle est jolie aussi, elle n'a utilisé qu'une simple étude de fonction + IAG ^^

:we:

au passage je constate que tu t'interesse aux inequations, c'est bien !

apparement tu es en 1 ere S, mais je t'invite quand meme a regarder des cours sur "l'optimisation sous contrainte(s) "

c'est assez accessible a condition d'avoir des petites notions sur les matrices, les fonctions a plusieurs variables et les differentielles, mais bon tu peux tjs regarder ..

[Olympus]

@miikou : j'y jeterai un coup d'oeil une fois que j'aurais les notions nécessaires, comme certains exos IMO du genre "Déterminer le plus grand/petit réel K tel que l'inégalité suivante est vraie" ne peuvent pas être résolus avec les méthodes traditionnelles ^^

[kasmath]

Comme x+y+z = 1 les 3 nombres ne peuvent être simultanément >1/3 , l'un est £ 1/3 ; si c'est z £ 1/3, puisque S=xy+yz+zx-2xyz=z(x+y)+xy(1-2z) et que 1/3£1-2z alors 0£ S; même raisonnement si c'est x ou y qui est £ 1/3 et donc on a toujours 0 £ S.

Montrons maintenant que S£ 7/27. Comme précédemment supposons, par exemple, que z £ 1/3 ce qui assure 1-2z >0.

xy = 0,25((x+y))2-(x-y)2) £ 0,25(x+y)2 et S £ z(x+y)+0,25(x+y)2(1-2z) = f(z)

On a f(z) = z(1-z)+0,25(1-z)2(1-2z)=0,25(-2z3+z2+1) et f '(z) = 0,5z(1-3z) montre (faire un tableau de variation) que pour tout z entre 0 et 1/3 on a f(z)£ f(1/3)=7/27 et S £ 7/27 ; même raisonnement si c'est x ou y qui est £ 1/3 et donc on a toujours S£ 7/27 .

Rem : on a S = 7/27 ssi x = y = z =1/3. En effet, si par exemple c'est z £ 1/3 , on aura S = 7/27 ssi f(z)=7/27 et S=f(z) soit ssi z =1/3 et 0,25((x+y))2-(x-y)2)=0,25(x+y)2, soit ssi z=1/3 et x=y soit ssi x=y=z=1/3 (puisque x+y+z=1).

[Zweig]

On pose , ,

L'inégalité à démontrer se réécrit alors :



L'inégalité de Schur s'énonce comme suit :

pour tout réel t et réels positifs x, y,z

Pour nous avons :

Pour nous avons :

De ces deux inégalités on en déduis un encadrement pour q et r :

(1)

(2)

De (2) nous avons et puisque alors par transitivité,

L'inégalité à démontrer se réécrit aussi

De (1) nous avons

Or il est bien connu que d'où et ainsi par transitivité,

Ainsi nous avons prouvé que