Plusieurs exercices d'OIM

par **lapras** » 01 Déc 2007, 18:10

Bonsoir,

1) "Soient a,b et c les longueurs des côtés d'un triangle, montrer que a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) <= 3abc"

2)"Soit a > 0 un réel fixé. Soit f(x+a) = 0.5 + sqrt( f(x) - f(x)² ).
Montrer que f est périodique"
:happy2:
Bon courage !

par **aviateurpilot** » 01 Déc 2007, 18:16

pour 2) je pense qu'il suffit de poser de calculer
f(x+2a),f(x+3a),f(x+4a) en fonction de f(x)
cas il se peux que la periode soit de la forme

pour h petit

par **lapras** » 01 Déc 2007, 18:17

Ok aviateurpilot, mais si par un malheureux hasard ils ont une période de plusieurs miliers de a, comment fais tu ?
Nan, pour que l'exercice (tres facile), aie de l'intéret il faut trouver une astuce. :zen:

par **aviateurpilot** » 01 Déc 2007, 19:11

on pose

donc

d'ou

donc

dans les deux cas on a

par **lapras** » 01 Déc 2007, 19:28

Bravo aziz, la période est bien de 2a !
:we:

par **ThSQ** » 01 Déc 2007, 21:19

lapras a écrit:1) "Soient a,b et c les longueurs des côtés d'un triangle, montrer que a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) <= 3abc"

Manips algébrique simple :

On multiplie tout :

par **lapras** » 02 Déc 2007, 12:58

Il y a une résolution plus belle pour ce type d'inéquations :)
Cependant il faut connaître une inégalité qui est tres connue pour les olympiades.

par **ThSQ** » 02 Déc 2007, 14:14

lapras a écrit:Il y a une résolution plus belle pour ce type d'inéquations
Cependant il faut connaître une inégalité qui est tres connue pour les olympiades.

La beauté c'est très relatif ....

On peut aussi poser a=x+y, .... (Ravi)
Ca revient à

qui est vrai par l'inég entre moyennes.

On peut aussi remarquer que

et consort, tout additionner et ça donne le truc voulu.

On peut aussi utiliser Al-Kashi, après des manips triviales (mais pénibles) ça revient :

qui est bien connu (au moins par les candidats aux olympiades !!)

Perso je préfère la 1ère que j'ai donnée.

par **lapras** » 02 Déc 2007, 15:12

Oui effectivement je parlais de ta deuxieme méthode en posant a = x+y
je suis étonné du nombre de méthodes pour résoudre cet exercice !

par **ThSQ** » 02 Déc 2007, 15:28

lapras a écrit:nombre de méthodes pour résoudre cet exercice !

Sans aucun doute il y en a d'autres ....

par **~oa~** » 14 Déc 2007, 15:28

ThSQ a écrit:Manips algébrique simple :

On multiplie tout :

C'est bonne comme méthode, Chapeau :!:

par **~oa~** » 14 Déc 2007, 16:22

par **lapras** » 14 Déc 2007, 19:45

merci pour la nouvelle inégalité !

Plusieurs exercices d'OIM

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Voila ce que j'ai fais:

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