Défi : bijection entre R et R*

[chombier]

Tout est dans le titre : trouver une bijection de R dans R*, ou prouver qu'il n'en existe pas.

Je pense qu'il en existe mais j'ai beau chercher, je ne mets pas le doigt dessus...

J'espère que je reste dans la ligne du parti en proposant un défi dont je n'ai pas la solution.

Par contre

Je pense qu'il revient au même de chercher une bijection de [0; 1] sur [0; 1[.

Donc si telle bijection n'existe pas, il doit être prouvable qu'il n'existe pas de bijection entre un ouvert et un fermé.

Enfin, il existe plein de bijections entre R et un sous ensemble de lui même, mais ce sont toujours des bijections de fermé à fermé (de ]-pi/2 ; pi+2[ à R, par exemple).

[alphamethyste]

Tout est dans le titre : trouver une bijection de R dans R*, ou prouver qu'il n'en existe pas.

.

salut , tout simplement f(x)=x pour lorsque x est entier impair ou lorsque {x} est non nul

et f(x)=x+1 pour x est entier naturel

avec {x} est la partie fractionnaire du réel x

[chombier]

tout simplement f(x)=x pour lorsque x est entier impair ou lorsque {x} est non nul

et f(x)=x+1 pour x est entier naturel

avec {x} est la partie fractionnaire du réel x

Donc, pour résumer, f(x) = x+1 si x est un entier naturel impair, f(x) = x sinon
N'a-t-on pas f(0) = f(1) = 1 ?
Et j'ai bien peur que 2 n'ait pas d'antécédent

[alphamethyste]

non on a f(0)=1 et f(1)=2 et etc ...

[chombier]

(...) f(x)=x pour lorsque x est entier impair ou lorsque {x} est non nul (...)

non on a f(0)=1 et f(1)=2 et etc ...

1 est impair donc f(1)=1, ou je n'ai pas compris ta solution

[alphamethyste]

pour tout x est entier naturel (pair ou impair on s'en fiche)

alors f(x)=x+1 et donc f(0)=1 , f(1)=2 , f(2)=3 et etc...

et pour tout autre x alors f(x)=x

[Imod]

Donc désigne l'ensemble des entiers :marteau:

Imod

[alphamethyste]

f(-1)=-1 je parle chinois???

Imod pour tout réel qui n'a pas de partie fractionnaire alors ce reel est un entier

donc j'ai dit pour tout réel positif n'ayant pas de partie fractionnaire alors f(x)=x+1
et ici x est un naturel

pour tout autre réel f(x)=x

je parle chinois????

[chombier]

pour tout x est entier naturel (pair ou impair on s'en fiche)

alors f(x)=x+1 et donc f(0)=1 , f(1)=2 , f(2)=3 et etc...

et pour tout autre x alors f(x)=x

C'est donc une bijection de R dans R.
f(-1)=0 donc 0 a un antécédent

[alphamethyste]

f(-1)=-1 je parle chinois???

Imod pour tout réel qui n'a pas de partie fractionnaire alors ce reel est un entier

donc j'ai dit pour tout réel positif n'ayant pas de partie fractionnaire alors f(x)=x+1
et ici x est un naturel et donc f(0)=1 , f(1)=2, f(2)=3 et etc ...

pour tout autre réel f(x)=x
et donc f(-1)=-1 , f(1.4)=1.4 et etc ...

je parle chinois????

[chombier]

f(-1)=-1 je parle chinois???

Imod pour tout réel qui n'a pas de partie fractionnaire alors ce reel est un entier

donc j'ai dit pour tout réel positif n'ayant pas de partie fractionnaire alors f(x)=x+1
et ici x est un naturel et donc f(0)=1 , f(1)=2, f(2)=3 et etc ...

pour tout autre réel f(x)=x
et donc f(-1)=-1 , f(1.4)=1.4 et etc ...

je parle chinois????

Pour tout entier naturel, désolé... Et merci pour ta solution.

Je la résume pour qu'il n'y ait pas d'ambiguité :



Encore merci

[alphamethyste]

Pour tout entier naturel, désolé... Et merci pour ta solution.

Je la résume pour qu'il n'y ait pas d'ambiguité :



Encore merci

de rien mais inutile de mettre 0 car 0 est un entier naturel

[Imod]

Il ne s'agit pas de parler chinois mais simplement de dire les choses :zen:

Imod

[Ben314]

Et tant qu'à faire d'éviter d'écrire des c..., dans le cas où x n'est pas dans N, c'est f(x)=x qu'il faut prendre et pas f(x)=0 !!!

(et les deux virgules sont à remplacer avantageusement par des "si")


Et ç'est pas stupide de comprendre que c'est (quasi) la même chose que de dire que n->n+1 est une bijection de N sur N*.

[chombier]

Et tant qu'à faire d'éviter d'écrire des c..., dans le cas où x n'est pas dans N, c'est f(x)=x qu'il faut prendre et pas f(x)=0 !!!

(et les deux virgules sont à remplacer avantageusement par des "si")


Et ç'est pas stupide de comprendre que c'est (quasi) la même chose que de dire que n->n+1 est une bijection de N sur N*.

En effet, je me suis bien planté en ré-écrivant la réponse d'alphamethyste (qui plus est, que j'ai eu du mal à comprendre), en plus je ne connaissais pas la balise \text (d'où ma virgule à la place du "si") et j'ai bien pensé à la bijection de N sur N* (paradoxe de l'hôtel infini) mais je n'ai malheureusement pas su la transposer sur R...

Merci pour la correction

[Ben314]

Que tu ait eu "du mal à comprendre" ça :

salut , tout simplement f(x)=x pour lorsque x est entier impair ou lorsque {x} est non nul
et f(x)=x+1 pour x est entier naturel
avec {x} est la partie fractionnaire du réel x

On va dire (poliment... :zen:) que c'est... compréhensible vu que que ça veut pas dire grand chose (si x est "entier naturel" ET AUSSI "entier impair", on prend laquelle de deux formules ???)

[alphamethyste]

tiens j'avais pas vu que j'ai écrit "impair" au lieu de "négatif"

bon il m'arrive de dire des conneries : la preuve!

à quoi je pensais là ??? :doh:

[Ben314]

Sinon, concernant ta question de départ, si tu as deux parties A et B de R d'intérieur non vise (i.e. telle que chacyune d'elle contiennent un intervalle non réduit à un point) alors il existe une injection de A->B (x->a+arctan(x)*2b/pi avec a et b choisis tels que ]a-b,a+b[ soit contenu dans B) et une injection de B dans A (idem) donc (Théorème de Cantor-ernstein) il existe une bijection de A dans B (le théorème est même plus ou moins "constructif").
Et ça répond à à peu prés toute les question que tu posait concernant l'existence de bijection entre truc et bidule.

Par contre, concernant ton
"il existe plein de bijections entre R et un sous ensemble de lui même, mais ce sont toujours des bijections de fermé à fermé (de ]-pi/2 ; pi+2[ à R, par exemple)"
ça montre que, pour le moment, tu as principalement manipulé des fonctions continues de R dans R et là, le problème de savoir s'il existe une bijection bicontinue (i.e. continue et de réciproque continue) entre 2 parties A et B de R données n'a que très peu de rapport avec celui consistant uniquement à chercher une bijection "quelconque".
Par exemple, l'un des premiers théorème que l'on voit au Lycée concernant les fonctions continues, à savoir le théorème des valeurs intermédiaires, dit en particulier que, si un intervalle A de R est en bijection bicontinue avec un autre ensemble B alors B est forcément aussi un intervalle.
Donc... il n'existe pas de bijection bicontinues de R sur R*.

[mathelot]

me rappelle avoir déjà vu une bijection construite de manière explicite
entre [0;1[ et [0;1], affine par morceaux (?).
Quelqu'un connait ce contre-exemple ? est ce dans le Hauchecorne ?

[Ben314]

me rappelle avoir déjà vu une bijection construite de manière explicite
entre [0;1[ et [0;1], affine par morceaux (?).
Quelqu'un connait ce contre-exemple ? est ce dans le Hauchecorne ?

Tout dépend de comment tu définit le terme "affine par morceaux".
Sinon, la solution qui me semble la naturelle, c'est de prendre
sur de façon à avoir
Ça donne (tout est évident sur un dessin)

Si tu rajoute ça fait

Et si le te convient pas en temps que "affine par morceaux", tu rajoute pour qui te donne ...