Géométrie

par **Ben314** » 09 Mai 2015, 16:11

Pour que tu te rende compte, je te met la réponse "minimale" (mais suffisante)

1) La matrice de l'application linéaire

associée à f dans a base canonique est

(se "lit" directement dans l'énoncé)
Cette matrice est clairement symétrique et vérifie M²=I_3 donc

est une symétrie orthogonale.
En particulier c'est donc une isométrie et, comme det(M)=-1, c'est une isométrie indirecte.

2) Comme M²=I_3, on a

donc fof est une translation.
De plus fof(0,0,0)=f(0,1,-1)=(1,1,-2) donc fof est une translation de vecteur (1,1,-2) ce qui signifie que f n'est pas une symétrie (BOUM : erreur dans l'énoncé...)

par **Ncdk** » 09 Mai 2015, 17:42

Ben314 a écrit:Pour que tu te rende compte, je te met la réponse "minimale" (mais suffisante)

1) La matrice de l'application linéaire associée à f dans a base canonique est (se "lit" directement dans l'énoncé)
Cette matrice est clairement symétrique et vérifie M²=I_3 donc est une symétrie orthogonale.
En particulier c'est donc une isométrie et, comme det(M)=-1, c'est une isométrie indirecte.

2) Comme M²=I_3, on a donc fof est une translation.
De plus fof(0,0,0)=f(0,1,-1)=(1,1,-2) donc fof est une translation de vecteur (1,1,-2) ce qui signifie que f n'est pas une symétrie (BOUM : erreur dans l'énoncé...)

Hum tu as pas plutôt répondu à la 2) dans ton 1) car je pense pas que l'énoncé soit faut, il manque une question a cette énoncé qui est importante je pense, j'avais oublié de la mettre

3) Montrer qu'il existe un unique vecteur v tel que, notant t la translation du vecteur v, on ait tof=fot et cette application f0 est une symétrie

par **Ben314** » 09 Mai 2015, 18:16

Effectivement, j'ai lu de travers la question 2).
Dans ce cas là, y'a rien à vérifier en plus vu qu'au 1) on a déjà montré que c'est une symétrie et, pour trouver ces "éléments remarquables", perso je résoudrait

( évaluer Ker(f-Id)) ce qui donne comme s.e.v.

le plan vectoriel d'équation y=x ou encore x-y=0 dont l'orthogonal est la droite vectorielle engendrée par (1,-1,0).

Bon, sinon, pour la dernière, j'ai déjà fait la moitié du boulot au dessus en montrent que fof est une translation de vecteur (1,1,-2).
Tu as une idée de qui tu doit prendre comme vecteur v ?

par **Ncdk** » 09 Mai 2015, 18:34

Ben314 a écrit:Effectivement, j'ai lu de travers la question 2).
Dans ce cas là, y'a rien à vérifier en plus vu qu'au 1) on a déjà montré que c'est une symétrie et, pour trouver ces "éléments remarquables", perso je résoudrait ( évaluer Ker(f-Id)) ce qui donne comme s.e.v. le plan vectoriel d'équation y=x ou encore x-y=0 dont l'orthogonal est la droite vectorielle engendrée par (1,-1,0).

Bon, sinon, pour la dernière, j'ai déjà fait la moitié du boulot au dessus en montrent que fof est une translation de vecteur (1,1,-2).
Tu as une idée de qui tu doit prendre comme vecteur v ?

Je dirais que v c'est le vecteur de translation du vecteur, puis appliquer tof = fot avec ce vecteur non ?

par **Ben314** » 09 Mai 2015, 18:41

certes....
Mais précisément, ça va être quoi les coordonnées du vecteur v ? (tu les as quasi sous les yeux, mais attention à un peu réfléchir pour ne pas dire une bétise)

par **Ncdk** » 09 Mai 2015, 18:59

Ben314 a écrit:certes....
Mais précisément, ça va être quoi les coordonnées du vecteur v ? (tu les as quasi sous les yeux, mais attention à un peu réfléchir pour ne pas dire une bétise)

Mais en fait j'arrive pas a calculer ce que c'est tof et du coup fot.

Je vois pas ce que représente t(f(x,y,z)) = t(y,x+1,z-1).

Je dirais que comme t est la translation du vecteur v alors t(y,x+1,z-1) = (y,x+1,z-1) + v ?
du style f(M+v) = f(M) + l(v) = f(M) + v.

J'ai peur de dire une bêtise x)

par **Ben314** » 09 Mai 2015, 19:25

Ben si, c'est bien ça.
Et si on veut pousser le calcul jusqu'au bout, il faut en plus écrire que (par exemple) v:(a,b,c) et comme ça on a la forme "explicite" : t(x,y,z)=(x+a,y+b,z+c) que tu as déjà plus où moins du voir dés que tu as vu les vecteurs, vu que ça dit en fait que, si M:(x,y,z) et M'=f(M):(x',y',z') alors le vecteur MM' a pour coordonnées (x'-x,y'-y,z'-z)=(a,b,c) qi ne dépend pas de M.
Tu peut parfaitement garder ton v:(a,b,c) puis regarder (par le calcul) a quelle condition tu as fot=tof et à quelle condition tu as (tof)o(tof)=Id (pour que f soit une symétrie) : en mettant les deux ensemble, ça te donnera une unique solution pour (a,b,c) (fait le pour voir...)

par **Ben314** » 09 Mai 2015, 19:33

Sinon, la méthode un peu moins chiante, c'est de dire que, si tof=fot alors (tof)o(fot)=t²of² et, comme on as calculé fof et que c'est une translation de vecteur (1,1,-2), pour avoir t²of²=Id, il faut que t² soit la translation de vecteur (-1,-1,2).
Enfin si t est la translation de vecteur v, alors t² est la translation de vecteur 2v donc il faut prendre v=(-1/2,-1/2,1).

Sauf qu'en fait, ça prouve pas complètement le truc (à moins de connaitre la théorie qui dit qu'il existe toujours un vecteur qui "marche") mais ça prouve uniquement que, s'il y a un vecteur qui "marche" ça ne peut être que celui là.
Il reste donc à vérifier "à la main" qu'avec ce vecteur là, on a bien fot=tof. (mais c'est pas la peine de vérifier l'autre égalité qu'une fois vérifié que fot=tof, on a (fot)o(fot)=f²ot² et ça on sait que, par construction de v, c'est vrai)

par **Ncdk** » 09 Mai 2015, 21:01

Ben314 a écrit:Ben si, c'est bien ça.
Et si on veut pousser le calcul jusqu'au bout, il faut en plus écrire que (par exemple) v:(a,b,c) et comme ça on a la forme "explicite" : t(x,y,z)=(x+a,y+b,z+c) que tu as déjà plus où moins du voir dés que tu as vu les vecteurs, vu que ça dit en fait que, si M:(x,y,z) et M'=f(M):(x',y',z') alors le vecteur MM' a pour coordonnées (x'-x,y'-y,z'-z)=(a,b,c) qi ne dépend pas de M.
Tu peut parfaitement garder ton v:(a,b,c) puis regarder (par le calcul) a quelle condition tu as fot=tof et à quelle condition tu as (tof)o(tof)=Id (pour que f soit une symétrie) : en mettant les deux ensemble, ça te donnera une unique solution pour (a,b,c) (fait le pour voir...)

D'accord merci, en fait le truc qui me gêne c'est que je vois pas à quoi ça ressemble exactement cette application t, une fois que j'aurais vu à quoi ça ressemble, j'aurai plus d'hésitation !

ça gêne un peu de calculer tof et fot sans savoir ce que c'est cette application t, je sais que c'est la translation du vecteur v, mais en terme d'application je sais pas ce que ça donne au niveau littérale.

par **Ben314** » 09 Mai 2015, 21:22

ça donne ça:

Ben314 a écrit:v:(a,b,c) et comme ça on a la forme "explicite" : t(x,y,z)=(x+a,y+b,z+c)

par **Ncdk** » 09 Mai 2015, 21:23

Excellent merci, je connais pas sa tête à ce machin :p

Merci pour ta patience :D :zen:

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