Robic a écrit:[...]
SLA disait :
Il ne dit pas qu'il faut démontrer qu'un polynôme de degré 1 ou 2 est irréductible (ce qui est en effet facile) ; il dit qu'il faut démontrer que si un polynôme (réel) est irréductible, c'est que forcément il est de degré 1 ou 2 (tu avais dit plus haut « les irréductibles de R[x] sont les fonctions affines et les trinome du second degré »). Et ça, c'est en effet tout sauf évident : qu'est-ce qui prouve (à part les théorèmes fondamentaux) qu'il n'existe pas de polynômes irréductibles de degré 4 par exemple ?
(Par exemple, si on m'avait demandé mon avis du temps où j'étais au lycée, je crois que j'aurais voté irréductible puisqu'il n'a pas de racines réelles et que
n'est pas visible à l'oeil nu).
Merci, j'ai cru que je n'arrivais plus à exprimer mes propos. Je disais que la seule preuve que j'avais de la caractérisation des irréductibles de R[X] utilise d'Alembert-Gauss. Après, il en existe peut-être d'autres ( auquel cas je suis preneur, ça peut toujours constituer un DM).
zygomatique a écrit:
d'autre part il y a aussi l'hypothèse de dimension finie à utiliser ...mais je ne pense pas qu'elle serve dans la première question mais ensuite pour montrer l'isomorphisme avec C ....
Ben justement si, CNS l'a très bien utilisé: il dit que
Toutefois une petite erreur de CNS est de dire qu'il existe un polynôme de degré n qui annule x_0. En réalité on obtient l'existence d'un polynôme de degré AU PLUS n.
Quant à l'isomorphisme avec C, une fois ce polynôme en main on en trouve même 2!
Cordialement
