Morphisme d'algèbres, vraiment?

[chnafon]

Bonjour,

Voici ce qui est écrit dans mon livre de prépa:


Soit u un endomorphisme de E un K-e.v
L'application ;)u : P -> P(u) est un morphisme d'algèbres de K[X] dans L(E)

ça n'étant comme souvent hélas pas indiqué, j'ai supposé que les structures d'algèbres étaient respectivement (K[X], +, . , x ) et (L(E), +, . , °) qui conviennent bien, ce soit effectivement des algèbres (sauf boulette de ma part? ) "." est la multiplication externe, "°" est la composition

Ce qui nous amène a une énorme perplexité de ma part: cela impliquerait PQ(u) = P ° Q(u) = Q ° P(u) ???
C'est effectivement la conclusion de ce point sur mon bouquin! Je suis perdu. C'est pourtant evidemment FAUX ne serait-ce que pour u l'application identité X -> X pour X dans E.

Merci de votre aide

[chnafon]

J'ai aussi pensé a modifier la structure de l'algèbre L(E) en remplaçant la loi de composition "°" par la multiplication standard "*" mais dans ce cas L(E) n'est même plus un algèbre, non? Car si u et v endomorphisme de E rien ne nous garanti que u*v soit toujours dans E

[lionel52]

Ce qui nous amène a une énorme perplexité de ma part: cela impliquerait PQ(u) = P ° Q(u) = Q ° P(u) ???


En effet on a bien cette égalité et je vois pas le problème avec l'identité!

[chnafon]

Lionel, voici un exemple: P(X) = 2X + 3, Q(X) = X²

Q°P(u) = (2u + 3Id)°(2u + 3Id) = 2u(2u+3Id) + 3(2u + 3Id) = 4u² + 12u + 9Id
P°Q(u) = 2u² + 3Id
PQ(u) = (2X^3 + 3X²) (u) = 2u^3 + 3u²

[lionel52]

Ce n'est pas QoP(f) mais Q(f)oP(f) !!

Q(f)oP(f) = f²o(2f+3Id) = 2f³ + 3f²! et non pas Q(2f + 3Id) = (2f+3Id)²

[chnafon]

Ce n'est pas QoP(f) mais Q(f)oP(f) !!

Q(f)oP(f) = f²o(2f+3Id) = 2f³ + 3f²! et non pas Q(2f + 3Id) = (2f+3Id)²

Bonsoir,

Dans ce cas je ne comprends pas ce qu'est le sens mathématique de Q(f)oP(f); Ne s'agit-il pas d'une composée de fonction? ça serait agir comme si l'opérateur "°" de composition était une multiplication..

peux tu me détailler étape par étape le calcul de, par exemple, f°(f+3Id) avec f: x->2*x endomorphisme de E

[Doraki]

si f et g sont dans L(E) et ;) dans R,
f°g est l'application x -> f(g(x)),
f+g est l'application x -> f(x)+g(x),
;)f est l'application x -> ;)f(x)
Id est l'application x -> x

Donc :

(f°(f+3Id)) (x) = f((f+3Id)(x)) = f(f(x)+3x) = f(f(x)) + 3f(x) (parceque f est linéaire)
((f+3Id)°f) (x) = (f+3Id)(f(x)) = f(f(x))+3f(x)

[chnafon]

Merci beaucoup, tout est plus clair.