Raisonnement par l'absurde !!!!

[mmerzo68]

Bonsoir les matheux , Je vous prie de m'aider dans cet exercice que je n'arrive pas du tout a assimiler , rien !
Voila :
Prouver par l'absurde que etant donné n'importe quel nombre réel , il existe toujours un nombre naturel superieur au nombre réel !
Merci d'avance :) :doh: :mur:

[Ben314]

Salut,
Tout va dépendre des axiomes que tu choisi concernant l'ensemble des réels R ou de la construction que tu as fait pour fabriquer l'ensemble des réels.

Avec les axiomes, la plupart du temps, on prend prend comme axiome (i.e. comme propriété vraie, par définition) que "R est archimédien" ce qui signifie... très précisément ce que tu as a démontrer...

Si tu construit R (suites de Cauchy ou cupures de Dedekind ou... autre) là, on doit effectivement faire la preuve de ce fait, rt cette preuve dépend (évidement) de la construction qu'on a pris.

BILAN : posée comme ça, c'est une question... très con...

[mmerzo68]

Salut,
Tout va dépendre des axiomes que tu choisi concernant l'ensemble des réels R ou de la construction que tu as fait pour fabriquer l'ensemble des réels.

Avec les axiomes, la plupart du temps, on prend prend comme axiome (i.e. comme propriété vraie, par définition) que "R est archimédien" ce qui signifie... très précisément ce que tu as a démontrer...

Si tu construit R (suites de Cauchy ou cupures de Dedekind ou... autre) là, on doit effectivement faire la preuve de ce fait, rt cette preuve dépend (évidement) de la construction qu'on a pris.

BILAN : posée comme ça, c'est une question... très con...

je t'assure elle est comme ca , donc moi la sur le coup je n'ai rien compris ^^

[Ben314]

Quand je disais que la question était très con, c'est que, sortie de son contexte, elle est débile.
Sauf que toi, le contexte, tu es sensé l'avoir :
Dans ton cours, est-ce que
- Vous avez construit l'ensemble R des réels (en partant sans doute des quotients) et, si oui, comment l'avez vous construit ?
OU BIEN
- Vous avez admis qu'il existait un ensemble R (des réels) vérifiant certaines propriétés et, si oui, quelles sont ces fameuses propriétés admises ?

P.S. : J'ai pas une boule de cristal qui me permettrais de répondre à ces questions là... :zen:

[mmerzo68]

Quand je disais que la question était très con, c'est que, sortie de son contexte, elle est débile.
Sauf que toi, le contexte, tu es sensé l'avoir :
Dans ton cours, est-ce que
- Vous avez construit l'ensemble R des réels (en partant sans doute des quotients) et, si oui, comment l'avez vous construit ?
OU BIEN
- Vous avez admis qu'il existait un ensemble R (des réels) vérifiant certaines propriétés et, si oui, quelles sont ces fameuses propriétés admises ?

Bon , le cours qu'on a fait il parle des demonstrations , par recurrence, par disjonction des cas et par l'absurde , donc , cette feuille d'exercice proposée ,ne parle que des trois demonstrations , plusieurs exos sont procsés aussi , mais la question que je t'ai posée , constitue un exo carrément , et durant le cours je ne me souviens pas du tout avoir parlé de nombres réels pour demontrer :/.

[Ben314]

Si tu n'as pas une définition précise de ce qu'est un réel (ou, à défaut, une liste précise de propriété vérifiées par les nombres réels), je ne vois pas comment procéder pour démontrer proprement un résultat pareil.

Au niveau Lycée/Collège, on manipule les réels avec une vision totalement naïve de ce qu'est un réel, sans jamais les construire (ce qui est très compliqué) ni même dégager proprement quelles sont les sont les propriétés qu'on admet les concernant.
Avec ce point de vue là, la réponse a ta question est immédiate : naïvement parlant, il est évident qu'on peut trouver un entier plus grand que n'importe quel réel. On peut évidement aussi faire semblant de le "déduire" d'autre chose qu'on aura considéré comme vrai parce que... c'est évident... mais vu qu'on a rien de solide a se mettre sous la dent concernant la question "qu'est-ce qu'un réel", ben la réponse reposera forcément sur du vide.

A mon avis, si tu as un exo. de ce type, il y a quelque part (cours ? début de la feuille ?, ailleurs ?) une liste de propriétés supposées être vraies concernant les réels et c'est de ces propriétés supposées vraies qu'il faut partir.
Là où je risque pas de t'aider, c'est que, en général, les fameuses propriétés admises (qu'on appelle "axiomes") concernant les réels, c'est :
R est un corps commutatif, totalement ordonné, archimédien et complet.
Et que "Archimédien", ben ça veut justement dire que R vérifie le truc qu'on te demande de montrer...

[mmerzo68]

Je vais laisser tomber , je pense que je ne vois pas du tout , l'interet de cette question :o
Et j'ai une autre question :
Prouver par disjonction des cas , l'inegalité triangulaire :
|x+y|<= |x|+|y|.
Merci Ben !!!! :D

[Styrix]

A mon avis, si tu as un exo. de ce type, il y a quelque part (cours ? début de la feuille ?, ailleurs ?) une liste de propriétés supposées être vraies concernant les réels et c'est de ces propriétés supposées vraies qu'il faut partir.
Là où je risque pas de t'aider, c'est que, en général, les fameuses propriétés admises (qu'on appelle "axiomes") concernant les réels, c'est :
[B][I]R est un corps commutatif, totalement ordonné, archimédien et complet.

Je suis d'accord, normalement tu dois avoir dans ton cours de quoi répondre à la question !
Et à mon avis idem pour l'inégalité triangulaire.
Après je ne m'avance à rien, peut être que non

[mmerzo68]

Aprés si vous pouvez m'aider a resoudre ces trucs , une semaine aavnt mon examen , et je redis : dans mon cours il n' y a pas ce genre d'"axiomes" , Donc la je suis en totale galére :3

[beagle]

Bon , le cours qu'on a fait il parle des demonstrations , par recurrence, par disjonction des cas et par l'absurde , donc , cette feuille d'exercice proposée ,ne parle que des trois demonstrations , plusieurs exos sont procsés aussi , mais la question que je t'ai posée , constitue un exo carrément , et durant le cours je ne me souviens pas du tout avoir parlé de nombres réels pour demontrer :/.

si le cours n'est pas réel, ni entier,
si le cours est sur ce que tu racontes,les méthodes de démonstrations,
ben le prof voulait un truc concon que Ben314 n'acceptera pas,
genre il y a autant d'entiers entre 0et r qu'entre r et 2r,
donc le dernier entier avant r est égal à son double,enfin encore plus absurde que ça quoi.

[Styrix]

Aprés si vous pouvez m'aider a resoudre ces trucs , une semaine aavnt mon examen , et je redis : dans mon cours il n' y a pas ce genre d'"axiomes" , Donc la je suis en totale galére :3

Je t'aurais bien redonné celles de mon cours, mais je n'ai pas le cahier de maths dans lequel elles sont :triste:

[Ben314]

si le cours n'est pas réel, ni entier,
si le cours est sur ce que tu racontes,les méthodes de démonstrations,
ben le prof voulait un truc concon que Ben314 n'acceptera pas,
genre il y a autant d'entiers entre 0et r qu'entre r et 2r,
donc le dernier entier avant r est égal à son double,enfin encore plus absurde que ça quoi.

Moi, a priori, je veut bien accepter des trucs "ressemblant" a une preuve, sauf qu'il faudra évidement "admettre" quelque chose quelque part vu qu'on a pas de définitions/axiomes et que j'ai un peu du mal à voir ce qu'on pourrait bien "admettre" de plus simple que... le résultat qu'on nous demande de montrer... (et c'est bien pour ça que ce résultat là est en général pris comme axiome : on prend en général comme axiome les trucs les plus simples possibles)
Mais, si quelqu'un veut essayer, pas de soucis...

P.S. Je précise que, par exemple, l'existence de la partie entière d'un réel x, c'est a dire d'un entier relatif n tel que n<=x<n+1 me semble clairement plus "compliqué a admettre" que le simple fait qu'il existe un entier m tel que x<m...

[mmerzo68]

Oui tout a fait il devrait y avoir qqchose a admettre , mais moi je ne vois pas ca dans mon cours , donc voila ,
Merci Styrix :) c est gentil ,
Bah au moins aidez moi svp pour l'inegalité triangulaire , jai detingué deux cas genre le cas ou x , y sont negatif et le contraire , mais je ne vois pas du tout ou cela pourrait mener :( .
Merci !

[Ben314]

Aprés si vous pouvez m'aider a resoudre ces trucs , une semaine aavnt mon examen , et je redis : dans mon cours il n' y a pas ce genre d'"axiomes".

Si tu as rien dans ton cours concernant les axiomes de R et qu'en cours vous avez pas fait de preuves de ce type (i.e. montrer des trucs qui semblent totalement évident, mais en utilisant uniquement une liste de propriétés donnés et rien d'intuitif), laisse tomber cet exo et regarde les autres.
Par exemple, celui avec les valeur absolue, on te demande uniquement d'utiliser la définition de la valeur absolue ainsi que les règles vues au collège concernant les inégalités.

[Ben314]

Tu as ça a démontrer:
|x+y|=0, y>=0, x+y>=0
2) x>=0, y>=0, x+y=0, y=0
4) x>=0, y=0, x+y>=0
6) x=0, x+y=0
8) x<0, y<0, x+y<0
Après, on peut soit examiner chacun des 8 cas, soit... réfléchir un peu pour faire diminuer le nombres de cas (plutôt conseillé, mais... pas obligatoire...)

[zygomatique]

Bon , le cours qu'on a fait il parle des demonstrations , par recurrence, par disjonction des cas et par l'absurde , donc , cette feuille d'exercice proposée ,ne parle que des trois demonstrations , plusieurs exos sont procsés aussi , mais la question que je t'ai posée , constitue un exo carrément , et durant le cours je ne me souviens pas du tout avoir parlé de nombres réels pour demontrer :/.

salut

ce n'est pas parce que tu as un exo correspondant à le cours sur la démonstration par récurrence, blablabla qu'il n'y a pas un cours sur la construction de R ou la définition de R avec certaines propriétés !!!

les savoirs ne sont pas cloisonnés !!!

[mmerzo68]

Je vais essayer Ben , merci ,
Zygo , oui je sais!

[beagle]

Je vais essayer Ben , merci ,
Zygo , oui je sais!

mmerzo68 , tu fais quoi comme études, quelle année de quoi?

[mmerzo68]

Etudes d'informatiques , et premiere année , et cette matieres s'apelle langage mathématiques

[beagle]

Etudes d'informatiques , et premiere année , et cette matieres s'apelle langage mathématiques

OK, alors :
"R est un corps commutatif, totalement ordonné, archimédien et complet."
c'est peut-ètre pas la première année.

L'exo , c'était juste pour vous faire parler!