Intégrale et complexe

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de montrer cette égalité, mais j'ai beaucoup de mal à aboutir :
Soit un complexe de module strictement inférieur à 1





Je n'arrive pas à calculer l'intégrale, et je ne vois pas de changement de variable pertinent, ni une IPP efficace.

La seule indication que j'ai eu c'est d'utiliser les sommes de Riemmann :

Je me suis donc intéressé pour tout à qui est censé converger vers l'intégrale en question

Mais le problème, je n'arrive pas à calculer cette somme, ou en tout cas montrer qu'elle converge vers ce qui me donnerait le résultat.


Si quelqu'un peut me donner quelques indications. Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Lamaths]

Je ne sais pas si les sommes de Riemann permettent d'aboutir, cependant je peux te conseiller une autre approche.
Dans ton intégrale, mets en facteur au dénominateur (pour le simplifier avec le numérateur), puis pense au développement en série entière de lorsque |x|<1.

Normalement avec des théorèmes d’interversions séries/intégrales tu devrais aboutir.

[deltab]

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzqBonsoir

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de montrer cette égalité, mais j'ai beaucoup de mal à aboutir :
Soit un complexe de module strictement inférieur à 1





Je n'arrive pas à calculer l'intégrale, et je ne vois pas de changement de variable pertinent, ni une IPP efficace.

La seule indication que j'ai eu c'est d'utiliser les sommes de Riemmann :

Je me suis donc intéressé pour tout à qui est censé converger vers l'intégrale en question

Mais le problème, je n'arrive pas à calculer cette somme, ou en tout cas montrer qu'elle converge vers ce qui me donnerait le résultat.


Si quelqu'un peut me donner quelques indications. Je vous remercie d'avance pour vos réponses

Tu as presque la forme \frac{u'}{u}.
Tu peux considérer l'intégrale comme provenant d'une intégrale sur un contour fermé , étant une variable complexe ou encore l'application de la formule intégrale de Cauchy.

[MacManus]

Bonsoir,

Une primitive est donnée par + K (K constante)



Mais sur un contour fermé comme le propose deltab, ça revient au même non ?

[Lamaths]

Bonsoir,

Une primitive est donnée par + K (K constante)



Mais sur un contour fermé comme le propose deltab, ça revient au même ?

MacManus, comment définis-tu le logarithme d'un nombre complexe ?
J'ai effectivement entendu parler de certaines définitions possibles, mais il ne me semblait pas qu'on puisse intégrer avec le ln cette fonction. :hein:

[MacManus]

Ah oui tu as sans doute raison, j'ai plus l'habitude :)
Tu dois faire allusion au logarithme complexe : log complexe (z) = ln|z| + i arg(z)

[Lamaths]

Ah oui tu as sans doute raison, j'ai plus l'habitude
Tu dois faire allusion au logarithme complexe : log complexe (z) = ln|z| + i arg(z)

Oui, je pensais à ce log complexe là... Mais il avait des défauts (je crois qu'on n'avait pas la continuité sur C...) Enfin, je m'aventure sur un terrain glissant, j'ai juste eu vent de l'existence de ce log, à mon niveau d'étude on m'a surtout dit "pas de log de nombre complexe"

[MacManus]

Oui c'est vrai que c'est délicat, il y a toute une théorie à ce sujet. En fait avec ta méthode, on s'en tire très bien :happy3:

[deltab]

Ah oui tu as sans doute raison, j'ai plus l'habitude
Tu dois faire allusion au logarithme complexe : log complexe (z) = ln|z| + i arg(z)

Dans ce genre de calcul, il faut prendre une détermination du log. Comme on intègre sur , ici prendre avec

[Lamaths]

C'est du détail (désolé), cependant j'aurais dit , sinon il me semble qu'on a un soucis avec

Cependant, même cette définition du log complexe, on trouve 0 sur le calcul de l'intégrale, et non 2pi ?

[MacManus]

On peut poser On obtient alors :



où est un cercle unité de centre a.
f n'étant pas prolongeable par continuité en a, on ne peut donc pas utiliser le théorème intégrale de Cauchy. Ce qui expliquerait pourquoi on ne peut pas utiliser le log. (?)

[deltab]

Bonjour

Il fallait revenir à une détermination continue du logarithme pour faire le calcul.

-

[deltab]

On peut poser On obtient alors :



où est un cercle de centre a.
f n'étant pas prolongeable par continuité en a, on ne peut donc pas utiliser le théorème intégrale de Cauchy. Ce qui expliquerait pourquoi on ne peut pas utiliser le log. (?)

Peux-tu expliquer le passage -

Que donne la formule intégrale de Cauchy

[MacManus]

En utilisant le théorème des résidus :



or

Donc

Sinon, en reprenant l'idée de lamaths, j'obtiens bien

[MacManus]

Bonjour

Il fallait revenir à une détermination continue du logarithme pour faire le calcul.

-

On obtient 0 alors ?

[jlb]

salut, une idée: tu considères ton intégrale comme une fonction de a, tu montres qu'elle est dérivable, de dérivée nulle et après tu réalises le calcul pour a=0.

Que se passe-t-il pour a à l'extérieur du disque de centre 0 et de rayon 1?

De mémoire, tu es en train de chercher ( à un coefficient près) l'indice du point d'affixe a par rapport au cercle de centre 0 et rayon 1 ( à confirmer par des vrais matheux)

[MacManus]

puisque |a|<1. a est dans D(0,1)

[jlb]

puisque |a|<1. a est dans D(0,1)

j'ai corrigé, c'est l'indice à un coefficient près!!

[deltab]

On peut poser On obtient alors :



où est un cercle unité de centre a.

Pourquoi un cercle centré en a.
, est donc sur la cercle unité i.e. le cercle centré à l'origine de rayon 1. Comme , parcourt le cercle complet.
Si on pose , dépend de et n'est donc pas constant. L'intégrale en question va dépendre de la position de sur rapport au cercle unité. Les calculs fait précédemment correspond au cas |a|<1, le point est à l'intérieur du cercle unité.

[MacManus]

Oui il s'agit bien du cercle unité, je m'étais trompé en disant centré en a.