Recherche fonction particulière

[AK-47]

Bonjour, je cherche pour des contraintes de calcul, une fonction tel que sur

et

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre sachant que sur la fonction peut à priori se comporter de manière arbitraire...

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour, je cherche pour des contraintes de calcul, une fonction tel que sur

et

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre sachant que sur la fonction peut à priori se comporter de manière arbitraire...

Je pense que tu as tout dit : sans contraintes supplémentaires, il peut se passer n'importe quoi du côté négatif...

Ta fonction doit-elle avoir des propriétés de dérivabilité, continuité, périodicité, ou autre ?

[Robic]

Bonjour. Ce que tu as écrit définit parfaitement cette fonction (du moins pour x >= 0). Du coup qu'est-ce que tu cherches ? À écrire cette fonction à l'aide de fonctions usuelles ?

On peut la définir par une limite, par exemple posons (c'est une courbe en cloche qui passe par 1 en 0 et tend vers 0 en plus ou moins l'infini, elle s'aplatit de plus en plus quand n augmente). Alors, pour tout x positif on a : . Avec cette définition, f est nulle aussi lorsque x < 0 mais si j'ai bien compris, ce n'est pas interdit.

Bonne question de capitaine Nuggets (pendant que je tapais ce message) : y a-t-il des contraintes en plus ?

[AK-47]

Peut on dire que par les propriétés sur R+, la fonction est affine par morceau sur R+ ?
Sinon, je cherche en fait à déterminer l'expression algebrique d'au moins une fonction vérifiant les conditions (même s'il y en a une infinité...)

[AK-47]

Ça serait une sorte du fonction de Heaviside à une valeur près : 0...

[Robic]

Le fait de définir la fonction en deux morceaux ne convient pas ?

Par exemple : f(x) = 1 si x 0, ça ne va pas ?

En une seule formule, on pourrait avoir :

où E désigne la partie entière.

[AK-47]

Le fait de définir la fonction en deux morceaux ne convient pas ?

Par exemple : f(x) = 1 si x 0, ça ne va pas ?

En une seule formule, on pourrait avoir :

où E désigne la partie entière.

Si, ça me convient ! Merci pour la fonction, tu l'as déterminé empiriquement ou tu as utilisé une méthode ? (Ça m'intéresse de savoir, au cas où j'aurais à reproduire... )

[paquito]

On a pas du tout besoin d'avoir une expression algébrique! f est tout simplement définie par f(0)=1 et pour x>0, f(x)=0. Elle est alors parfaitement définie (tu peux calculer f(x) pour x>=0 sans aucun problème). C'est ce qu'on appelle une fonction étagée. Si tu veux pire, soit g la fonction définie sur [0; +oo[ par g(x)=0 si x est irrationnel, g(x)=1 si x est rationnel. La définition est claire; essaie toujours de la définir par une expression algébrique!

[AK-47]

Je vois, l'expression algébrique n'est pas une finen soi (c'est suffisant mais pas nécessaire !!!) mais pour calculer une dérivée ou une primitive de cette fonction, il faut bien avoir son expression algébrique ?

[paquito]

Je vois, l'expression algébrique suffit en soi mais pour calculer une dérivée ou une primitive de cette fonction, il faut bien avoir son expression algébrique ?

Cette fonction, discontinue en 0, ne sera jamais dérivable en 0! Où est le problème?
Pour l'intégrale, si on modifie la valeur de f en un nombre fini de points, cela ne change rien, donc,.

[AK-47]

Cette fonction, discontinue en 0, ne sera jamais dérivable en 0! Où est le problème?
Pour l'intégrale, si on modifie la valeur de f en un nombre fini de points, cela ne change rien, donc,.

Je vois, je me complique la vie pour rien ^^, c'est souvent le cas quand on ne connaît pas profondément un sujet, on ne connaît toutes les petites astuces gagnées par expérience ! :p
Merci beaucoup !

[paquito]

Bonjour, je cherche pour des contraintes de calcul, une fonction tel que sur

et

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre sachant que sur la fonction peut à priori se comporter de manière arbitraire...

Puisque la valeur de f sur R-n'a aucune importance, il n'y qu'à poser F(x)=0 si x<o!

[Robic]

AK-47 : pour trouver cette fonction, j'ai juste un peu réfléchi. J'ai « senti » que la partie entière serait utile puisqu'elle permettrait d'avoir la discontinuité en 0. Il me fallait donc une fonction qui donne un nombre dans [0,1[ pour les x>0. J'ai fait un dessin, je l'ai complété symétriquement sur les négatifs, et ça m'a fait penser à l'arc tangente...

Pour calculer la dérivée de f, il faut utiliser la première définition : f(x) = 1 si x <= 0, f(x) = 0 si x > 0, surtout pas celle avec la partie entière ! (Il y en a qui ont essayé, ils ont eu des problèmes...)

[paquito]

AK-47 : pour trouver cette fonction, j'ai juste un peu réfléchi. J'ai « senti » que la partie entière serait utile puisqu'elle permettrait d'avoir la discontinuité en 0. Il me fallait donc une fonction qui donne un nombre dans [0,1[ pour les x>0. J'ai fait un dessin, je l'ai complété symétriquement sur les négatifs, et ça m'a fait penser à l'arc tangente...

Pour calculer la dérivée de f, il faut utiliser la première définition : f(x) = 1 si x 0, surtout pas celle avec la partie entière ! (Il y en a qui ont essayé, ils ont eu des problèmes...)

La partie entière n'étant pas dérivable en 0, cela n'apporte strictement rien. de toute façon, sa définition ne pose aucun problème; il serait illusoire de croire que toute fonction numérique peut être définie par une expression algébrique; il en resterait plus beaucoup!

[paquito]

Salut !


Je pense que tu as tout dit : sans contraintes supplémentaires, il peut se passer n'importe quoi du côté négatif...

Ta fonction doit-elle avoir des propriétés de dérivabilité, continuité, périodicité, ou autre ?

Ta fonction est en fait définie de façon extrèmement simple; le seul problème se situe en 0 et est vite réglé: pas de continuité donc pas de dérivabilité. Ce qui te surprend, c'est que la fonction ne soit pas définie par une expression algébrique; mais tu verras par la suite beaucoup de fonctions définies autrement; la tienne est simplissime et ne doit pas te perturber; une fonction numérique est bien définie lorsque l'on peut calculer f(x) pour tout x de Df; c'est évidemment le cas ici. On se moque complètement de se qui peut se passer pour x<0. La première fois que l'on voit ça, on est un peu perturbé; ça ne dure pas!

[Robic]

La partie entière n'étant pas dérivable en 0, cela n'apporte strictement rien.

J'expliquais à AK-47, qui m'avait posé la question, comment j'avais trouvé l'expression unique décrivant ma fonction f. Donc si, ça apporte quelque chose : ça apporte de pouvoir écrire ma fonction f sous forme d'une unique expression.

Maintenant, il n'y a effectivement aucun intérêt à l'écrire sous forme d'une unique expression, comme je l'ai d'ailleurs dit.

[paquito]

J'expliquais à AK-47, qui m'avait posé la question, comment j'avais trouvé l'expression unique décrivant ma fonction f. Donc si, ça apporte quelque chose : ça apporte de pouvoir écrire ma fonction f sous forme d'une unique expression.

Maintenant, il n'y a effectivement aucun intérêt à l'écrire sous forme d'une unique expression, comme je l'ai d'ailleurs dit.

Beaucoup de fonctions sont définies par morceaux; si on veut les représenter graphiquement, on peut utiliser les fonctions logiques de la calculatrice; par exemple (x=0) prend la valeur 1 si la condition x=0 est vérifié et prend la valeur 0 sinon. Donc y=(X=0) représente notre fonction f (mode non relié; évidemment, on ne voit rien, mais si on considère la densité de la loi uniforme sur [0, 1[ définie par f(x)=1, si x appartient à [0, 1[, f(x)=0 sinon, on programme ; on peut en visualiser ainsi beaucoup d'autres; par exemple , avec ; on obtient une fonction qui prend la valeur 1 sur tous les intervalles [2k, 2k+1[, k entier relatif et la valeur 0 sinon. Tout ceci uniquement pour chercher à visualiser une fonction qui n'est pas définie par une seule expression algébrique.

[Robic]

Ah oui, ces exemples sont intéressants. Je crois qu'ils correspondent aux fonction indicatrices. Par exemple ce que tu notes (x>=0 et x<=1) est la fonction . Encore une façon concise d'écrire avec une seule expression la fonction du début de ce sujet.

Sinon, une petite remarque hors-sujet...

Il y a quand même des cas où il est pratique d'écrire une fonction affine par morceau autrement qu'en écrivant l'expression sur chaque morceau, notamment lorsqu'on veut calculer des transformées du type transformée de Laplace. Par exemple si on s'intéresse à la fonction f qui vaut 1 sur [0;1] et 0 ailleurs, on peut écrire que f(t) = U(t) - U(t-1) où U est l'échelon unité (fonction qui vaut 1 sur les positifs et 0 sur les négatifs), ce qui permet d'en déduire directement la transformée par différence et en utilisant le théorème du retard (pour U(t-1)). Ici l'exemple est simple, mais quand on tombe sur une fonction affine par morceau un peu plus compliquée, c'est bien plus pratique d'écrire la fonction comme combinaison d'échelons et de rampes que d'utiliser la définition sur chaque morceau.

Mais c'est hors-sujet bien sûr. Je disais ça juste pour signaler que la définition par morceau n'est pas la seule utile.

[paquito]

Petite remarque hors-sujet...

Il y a quand même des cas où il est pratique d'écrire une fonction affine par morceau autrement qu'en écrivant l'expression sur chaque morceau, notamment lorsqu'on veut calculer des transformées du type transformée de Laplace. Par exemple si on s'intéresse à la fonction f qui vaut 1 sur [0;1] et 0 ailleurs, on peut écrire que f(t) = U(t) - U(t-1) où U est l'échelon unité (fonction qui vaut 1 sur les positifs et 0 sur les négatifs), ce qui permet d'en déduire directement la transformée par différence et en utilisant le théorème du retard (pour U(t-1)). Ici l'exemple est simple, mais quand on tombe sur une fonction affine par morceau un peu plus compliquée, c'est bien plus pratique d'écrire la fonction comme combinaison d'échelons et de rampes que d'utiliser la définition sur chaque morceau.

Mais c'est hors-sujet bien sûr.

Tout à fait d'accord, c'est même fortement conseillé lorsque l'on cherche une transformée de Laplace, même s'il faut revenir à la définition par morceau pour étudier la solution. Sinon, la fonction peut être considérée comme la fonction logique , ce qui permet de visualiser directement un signal d'entrée comme tU(t)-2(t-1)U(t-1)+(t-2)U(t-2). En fait, pour conclure, les élèves sont toujours surpris quand ils découvrent une fonction qui n'est pas définie par une seule expression algébrique, mais dès qu'ils ont un peu manipulé ça s'arrange très vite.
Bon Week end

[Ben314]

...Si tu veux pire, soit g la fonction définie sur [0; +oo[ par g(x)=0 si x est irrationnel, g(x)=1 si x est rationnel. La définition est claire; essaie toujours de la définir par une expression algébrique!

(un classique pour ceux qui connaissent la théorie de Baire)