Trouver les coordonnées d'un point sur la tangente d'un cerc

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Bonjour,

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, j'ai :
- un cercle C d'équation « x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0 » ;
- un point T de coordonnées (3;4) ;
- un point W, centre du cercle C dont j'ai les coordonnées ;
- la longueur du rayon du cercle C ;
- deux tangentes au cercle C partant du point T ;
- un cercle C' dont j'ai l'équation ;
- le segment [WT] qui est le diamètre du cercle C' ;
- le point A1 appartenant au cercle C' mais étant le point de contact d'une des tangentes avec le cercle C ;
- le point A2 appartenant au cercle C' mais étant le point de contact de l'autre tangente avec le cercle C.

Avec tout cela, je dois trouver les coordonnées de A1 et les coordonnées de A2. J'ai essayé de résoudre :
;
de partir de la longueur WT, de l'utiliser avec le théorème de Pythagore car TA1W est un triangle rectangle en A1 pour trouver la longueur TA1 puis d'essayer de retrouver les coordonnées de A1 mais je finis toujours avec des équations à deux inconnues que je ne sais pas résoudre. Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance !

[Thomas Joseph]

Bonjour,

je ne sais pas si c'est la méthode que tu souhaites appliquer mais la suivante fonctionne (je viens de le faire)

Tu as les équations des deux cercles, tu dois donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
1) soustraire les deux équations membres à membres et appliquer 2 fois l'identité remarquable a²-b²
2) exprimer x en fonction de y dans la nouvelle équation obtenue
3) remplacer x par son expression en fonction de y dans l'une des deux équations de cercle
4) On obtient y=-2 ou y=-0.8 ... c'est alors presque terminé.

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Bonjour,

je ne sais pas si c'est la méthode que tu souhaites appliquer mais la suivante fonctionne (je viens de le faire)

Tu as les équations des deux cercles, tu dois donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
1) soustraire les deux équations membres à membres et appliquer 2 fois l'identité remarquable a²-b²
2) exprimer x en fonction de y dans la nouvelle équation obtenue
3) remplacer x par son expression en fonction de y dans l'une des deux équations de cercle
4) On obtient y=-2 ou y=-0.8 ... c'est alors presque terminé.

Je pense que c'est une bonne méthode. En faisant :

l'équation de C - l'équation de C'
; j'obtiens que .

Je remplace ensuite x par la valeur obtenue dans l'équation du cercle C et je trouve une équation du second degré. J'ai essayé de remplacer y par les valeurs que vous m'avez donné mais ça ne fonctionne pas. De plus, je n'ai pas vu où il fallait utiliser l'identité remarquable « a² - b² ». Avez-vous trouvé la même valeur que moi pour x ?

[Thomas Joseph]

x=-3y-3, tu as fait une petite erreur, ta soustraction membre à membre est bizarre

Quant aux valeurs que j'ai obtenues je les ai vérifiées sur geogebra.
Pour utiliser a²-b² : tu peux par exemple l'appliquer à (x-1)²-(x-2)² dans le premier membre après avoir effectué la soustraction membre à membre.

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x=-3y-3, tu as fait une petite erreur, ta soustraction membre à membre est bizarre

Quant aux valeurs que j'ai obtenues je les ai vérifiées sur geogebra.
Pour utiliser a²-b² : tu peux par exemple l'appliquer à (x-1)²-(x-2)² dans le premier membre après avoir effectué la soustraction membre à membre.

Effectivement, j'ai dû me tromper car j'ai à nouveau fait les calculs et je trouve bien que . En remplaçant x par la valeur obtenue dans les équations des deux cercles, je trouve que 10y² + 28y + 16 = 0 mais je ne sais pas comment résoudre cette équation...

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x=-3y-3, tu as fait une petite erreur, ta soustraction membre à membre est bizarre

Quant aux valeurs que j'ai obtenues je les ai vérifiées sur geogebra.
Pour utiliser a²-b² : tu peux par exemple l'appliquer à (x-1)²-(x-2)² dans le premier membre après avoir effectué la soustraction membre à membre.

Effectivement, j'ai dû me tromper car c'est bon maintenant, je trouve les mêmes réponses que vous. Je vous remercie pour votre aide !