Exercice sur les inversions

[alex_95]

Bonsoir,
je suis actuellement en deuxième année de fac et assiste à des cours de maths préparant au concours de professorat des écoles. Dans le cadre de ce cours, le professeur nous a demandé de réaliser un dossier sur le problème de Napoléon et d'y introduire un exercice sur les inversions.
Toutefois, je n'ai jamais vu cette notion . Avec mes camarades, nous avons essayé de résoudre l'exercice suivant :

"Nous avons un cercle C dont on connaît seulement le contour. On considère deux points A et B sur C non diamétralement opposés. Soit C1, le cercle de centre A passant par B, il recoupe C en un point D.

1- Quelle est l’image de C par l’inversion de centre A et de cercle d’inversion C1 ?
2- Soit A’ le symétrique de A par rapport à (BD). Que peut on en déduire quant à l’image A’’ de A’ par l’inversion de centre A et de cercle d’inversion C1 ?
3- Réaliser, au compas uniquement, la construction du centre O du cercle C."

Et voilà ce que nous avons fait

Pouvez- vous nous dire si c'est correct ?

Merci

[jlb]

Bonsoir

"Nous avons un cercle C dont on connaît seulement le contour. On considère deux points A et B sur C non diamétralement opposés. Soit C1, le cercle de centre A passant par B, il recoupe C en un point D.

1- Quelle est l’image de C par l’inversion de centre A et de cercle d’inversion C1 ? (BD)
2- Soit A’ le symétrique de A par rapport à (BD). Que peut on en déduire quant à l’image A’’ de A’ par l’inversion de centre A et de cercle d’inversion C1 ? c'est le centre recherché du cercle C
3- Réaliser, au compas uniquement, la construction du centre O du cercle C." tu commences la construction comme indiqué, tu traces au compas le symétrique A' de A par rapport à (BD). Tu traces le cercle de centre A' passant par A, il coupe le cercle d'inversion en deux points E et F et tu obtiens le centre en traçant le symétrique de A par rapport à (EF)

[alex_95]

Bonsoir , merci pour votre réponse . Pour la réponse 1 et 2 c'est ce que nous avons trouvé mais nous ne savons pas comment l'expliquer avec un raisonnement mathématiques .

[Thomas Joseph]

Bonsoir,

Pour la question 1

On sait que l'image de C (cercle passant par le pôle d'inversion) est une droite ... reste à savoir laquelle.
On sait également que les points du cercle d'inversion C1 sont invariants.
Donc l'image de B appartenant à C et à C1 est B. Donc l'image de C passe par B.
De même l'image de C passe par D.
Conclusion l'image de C est une droite passant par B et D : c'est donc (BD)

Pour la question 2

Notons O le centre de C
Notons r le rayon de C1 (r=AB)
Notons E le point de C diamétralement opposé à A.
Notons I le milieu de [BD]

L'inverse de E est I (si besoin de démonstration sur ce point, merci de la demander).

Donc AI*AE=r²
Donc AI*2*AO=r²
Donc 2*AI*AO=r²
Donc AA'*AO=r²

D'où la conclusion : A'' image de A' par l'inversion est identique à O.

En espérant avoir répondu à ta question,
cordialement,

Thomas.

Remarque : il peut être utile de réaliser la figure à l'aide geogebra