Voici ci-dessous l'enonce de ce fameux DM !
EXERCICE 1. Triangle dor.
Soit ABC un triangle isocèle tel que AB = AC = 1. On pose BC = x.
1. Démontrer que A;)B ·A;)C = 1;)(x^2/2)
On suppose maintenant de plus que l'angle BAC = PI/5
Un tel triangle isocèle est appelé un triangle dor.
2. La bissectrice de l'angle ABC coupe (AC) en D.
a. Démontrer que les triangles BCD et ABD sont isocèles.
b. En déduire que A;)B ·A;)D=1/2
c. Justifier que A;)D= x(A;)C) et déduire des résultats précédents légalité x^3;)2x +1 = 0.
3. Vérifier que, pour tout réel x : x^3;)2x +1 = (x
1)(x^2+x 1). En déduire la longueur BC.4. Démontrer que cos(PI/5) = (SQRT(5)+1)/4 et cos(2PI/5) = (SQRT(5)-1)/4
EXERCICE 2. Pentagone régulier.
Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats établis dans la dernière question de lexercice précédent.
Dans le plan muni dun repère orthonormé direct (O, I , J ), soit C le cercle trigonométrique de centre O.
Soit K et L les points définis par leurs coordonnées : K(;)1 ; 0) et L(0 ; 1/2)
Soit C
le cercle de diamètre [OJ ] et C1 et C2 les cercles de centre K tangents à C .On note r1 et r2 les rayons de ces deux cercles et on suppose r1 < r2.
1. Construire une figure (unité graphique 5 cm) puis calculer r1 et r2.
Soit A et R les points dintersection de C1 et de C , A étant dordonnée positive.
Soit C et E les points dintersection de C2 et de C , C étant dordonnée positive.
On note alpha la mesure principale de langle (O;)I ,O;)C).
2. a. Justifier légalité O;)I +O;)C = K;)C .
b. En utilisant deux expressions du produit scalaire O;)I.O;)C , démontrer que cos(alpha)=
(SQRT(5)-1)/4
c. En déduire la valeur exacte de alpha
3. Démontrer que ICARE est un pentagone régulier.
En voici pour les enonces !
Et maintenant ce que j'ai trouve
:Exercice 1:
1) A;)B.A;)C=1-(x^2)/2
=1/2[AB^2+AC^2-BC^2]
=1/2(1^2)+1/2(1^2)-1/2(x^2)
=1-(x^2)/2
2a) On sait que l'angle BAC=PI/5=36 degres
Or vu que le triangle ABC est isocele en A on a l'angle ABC et ACB qui sont egaux
Donc ABC=ACB=(180-36)/2= 72 degres
On sait que BD est la bissectrice de l'angle ABC qui coupe AC en D
Or une bissectrice coupe l'angle par laquelle elle passe en 2 angles de memes mesures
Donc ABD=CBD=72/2=36 degres
Dans chacun des triangles nous connaissons la valeur de 2 angles, il suffira de soustraire 180 de la somme des angles de chaque triangle. Donc pour le triangle ABD on a 180-36-36=118 degres et pour le triangle BDC on a 180-36-72=72 degres. Et 118+72=180 ce qui equivaut a la valeur de l'angle plat ADC
Donc les deux triangles sont bien des triangles isoceles car ils possedent chacun deux angles de memes mesures.
Pour les prochaines questions j'ai essaye plusieurs choses mais je ne suis pas arrive au resultat.
Merci pour votre aide et excusez-moi pour le long message !