Probleme de maths: Cylindre dans une demie sphere

[zebatteur]

Mais comment je prouve que Sn est inferieur a 1 ?

[zebatteur]

D'accord, j'ai bien compris, merci beacoup

Une derniere questionpour cet exercice, on me demande ensuite d'en deduire un encadrement de Sn et de determiner sa limite à l'aide du calcul integrale

Comment je dois proceder ?

De plus si tu as le temps, pourrais tu regarder l'exercie 2, la premier question...
Voici le lien: http://www.noelshack.com/2014-12-1395515180-20140322-200315-1.jpg

ca me deprime, je me sens vraiment nul en maths alors que je suis en terminal S maths spé...

[paquito]

Mais comment je prouve que Sn est inferieur a 1 ?

Je te l'ai montré; dans la somme de n termes le plus grand est le premier terme est 1/(n+1) donc
Sn=< 1/(n+1)+1/(n+1)+.......+1/(n+1)=n(1/(n+1))=n/(n+1)=<1

[paquito]

D'accord, j'ai bien compris, merci beacoup

Une derniere questionpour cet exercice, on me demande ensuite d'en deduire un encadrement de Sn et de determiner sa limite à l'aide du calcul integrale

Comment je dois proceder ?

De plus si tu as le temps, pourrais tu regarder l'exercie 2, la premier question...
Voici le lien: http://www.noelshack.com/2014-12-1395515180-20140322-200315-1.jpg

ca me deprime, je me sens vraiment nul en maths alors que je suis en terminal S maths spé...

Ce n'est pas du tout un exercice facile, donc pas de déprime. L'exercice 2, c'est encore la méthode des rectangles; je sature! De plus, ce n'est pas une priorité dans le programme.

Tu as Sn<ln2<Sn+1/2n, ce qui te permet de trouver un encadrement de ln2 d'amplitude 1/2n donc tu auras un encadrement de ln2 d'amplitude 10-3 pour n=500 (pauvre calculatrice; tu vas user les piles)

[zebatteur]

Oui, mais c'est un DM ^^, en plus il est tres court, mais je bloque a la premiere question...

[paquito]

Bonjour, je vais te donner un coup de main pour l'exercice 2.

Tu as Vn=(b/n)(1+e^-(b²/n²)+e^-(2²b²/n²)+.......+e^-((n-1)²b²/n²)) et
Un=(b/n)( e^-(b²/n²+................................+e^-((n-1)²b²/n²)) +e-^(-b²), donc

Vn-Un=(b/n)(1-e^(-b²))

pour la ligne 8 on aura (b/n)->A, A(1-e^(-b))>10^-4 signifie Vn-Un>10-4; c'est pour avoir une valeur approchée de ton intégrale I, puisque Un
Ligne 14 il faut écrire U+e-(kb/n)²->U; la boucle donnera e^-(b/n)²+e^-(2b/n)²+......+e^-(b)²->U

et puisque A vaudra b/n, A*U te donnera Un qui sera une valeur approchée de I à moins de 10^-4.

SurTI82,83ou84, ça donne:

:Prompt B
:1->N
:B->A
:0->U
:While A*(1-e^(-B²))>10-4
:N+1->N
:B/N->A
:End
:For (K,1,N)
:U+e^(-(KB/N)²)->U
:End
:Disp A*U


Pour b=1, la calculatrice met plusieurs minute pour donner le résultat; heureusement qu'il y a des méthodes beaucoup plus rapides.

Voilà; à toi de jouer!

[zebatteur]

Ah d'accord ! j'avais mal comprit pour les suite Vn et Un par raport a k
Mais du coup pour l'expressions de Un, (b/n)( e^-(b²/n²+................................+e^-((n-1)²b²/n²)) +e-^(-b²)
apres (b/n) ( e^-(b²/n²) le + il est toujours dans la parenthese ? et la suite aussi ? Donc il y a l'exponentielle de l'exponentielle a un moment ?" e^-(b²/n²+................................+e^-((n-1)²b²/n²))"

[zebatteur]

J'ai compris !! Merci infiniment de ta patience !

[paquito]

J'ai compris !! Merci infiniment de ta patience !

J'aurais pu écrire Un =(b/n)(e^-(b/n)²+e^-(2b/n)²+....+e-(kb/n)²+.....+e-(b)²) et pareil pour Vn; ça aurait été peut être plus clair (e^-(b)² correspond à k=n)

[zebatteur]

J'aurais pu écrire Un =(b/n)(e^-(b/n)²+e^-(2b/n)²+....+e-(kb/n)²+.....+e-(b)²) et pareil pour Vn; ça aurait été peut être plus clair (e^-(b)² correspond à k=n)

Ok, ca marche, si tu as fait l'algorithme, pourrais tu me donner tes valeurs, a 10^-4 et 10^-6 res, que je compare avec les miennes ?

[paquito]

pour b=1, j'obtient N=6322 et Un=0,7467741376.....
ma calculatrice me donne en mode graphique I=int(0; 1)e^-x²dx=0,746824....avec 6 décimales exactes.
Pour une précision de 10^-6, je ne le fais pas! La calculatrice va mettre des heures pour trouver le résultats.

Je te montrerais la méthode la plus efficace un peu plus tard.

[DAYDAMOUN]

soit (Un) la suite réelle définie par
U1 dans]0,0.5[ et Un+1=Un(1-Un)
1/
a) mq 0b) mq Un est convergente
c)mq Un < 1/(n+1)
(on pourra utiliser les variations de la fonction f définie sur [0,1/2] par f(x)=x(1-x))
d)trouver alors lim Un
2/
soit Vn=nUn
mq (Vn) est croissante et q'elle est convergente
j'ai répondu sur 1/a/b/c/d
mais 2/ non
comment faire ?

[Ben314]

Salut,
Déjà, sans trop réfléchir, je chercherais quelle est la formule de récurence qui permet de calculer V(n+1) en fonction de Vn
Indic : Dire que Vn=n.Un, ça veut dire que, pour n non nul, Un=Vn/n...

Aprés, en réfléchissant un peu, vu qu'il n'y a qu'une seule question concernant Vn, on peut aussi ne pas chercher la formule et écrire simplement :

[zebatteur]

pour b=1, j'obtient N=6322 et Un=0,7467741376.....
ma calculatrice me donne en mode graphique I=int(0; 1)e^-x²dx=0,746824....avec 6 décimales exactes.
Pour une précision de 10^-6, je ne le fais pas! La calculatrice va mettre des heures pour trouver le résultats.

Je te montrerais la méthode la plus efficace un peu plus tard.

D'accord, c'est quand meme bizarre qu'on me demande de la faire alors ^^ si je dois attendre plusieurs heures :p

[paquito]

1/a) récurrence très facile.
b) U(n+1)-Un=Un-U²n-Un=-U²n<0 donc Un décroît et est minorée par 0 donc.....
c) on trouve immédiatement que f(x) est croissante; puis il faut faire une récurrence un peut moins évidente:
pour n=1, U1<1/(1+1), c'est vérifié

Pour un entier n>=1 supposons que Un<1/(1+n); comme f est croissante sur (0; 0,5),

f(Un)
n/(n+1)²<1/(n+2) pour conclure.
d)évident!

2/V(n+1)/Vn=(n+1)U(n+1)/nUn=(n+1)/n*(Un-U²n)/Un=((n+1)/n)*(1-Un), mais Un<1/(n+1), donc 1-Un>n/(n+1) et V(n+1)/Vn>1; (Vn) est bien croissante.

on a Vn=nUn

[DAYDAMOUN]

soit f une fonction dérivable sur R . on suppose que f(0)=0; \lim_{x \to -infty} f(x)=1/2; \lim_{x \to +infty} f(x)=-1/2 ;et \forall \in R ;f'(x)=-1/ \Pi(1+x²)
1) mq f est bijective de R sur ]-1/2; 1/2[;
2) soit la fonction g définie sur ]-\Pi/2; \Pi/2[ par g(x)=f(tg(x))
a-mq \forall x \in ]-\Pi/2; \Pi/2[ ;g(x)=(-1/\Pi)x
b- en déduire f^{-1},\forall x \in ]-1/2; 1/2[
3) soit k(x) la fonction définie par k(x)=f((1+x)/(1-x))
a- mq k est dérivable sur [0,1[ et calculer k'(x)
b- en déduire que \forall x \in [0,1[;k(x)=h(x)-(1/4)
4) soit (Un) la suite définie par :
Un=1/(n+1)\bigsum_{k=n}^{2n} f(1/k)
a- donner un encadrement de Un puis calculer \lim_{x \to +infty} Un
b- on pose Vn =1/(n+1)\bigsum_{k=n}^{2n} h(1-2/(1-k))
mq Vn=Un-(1/4) puis determiner \lim_{x \to +infty} Vn.
j'ai fait 1 et 2)a seulement le reste j'ai pas pu le faire .
aidez-moi svp j'ai un probleme avec les fonctions composées :'(

[DAYDAMOUN]

merci infiniement :)

[paquito]

D'accord, c'est quand meme bizarre qu'on me demande de la faire alors ^^ si je dois attendre plusieurs heures :p

On ne te demande que pour 10^-4, c'est déjà assez pour cette méthode!

[paquito]

1) f'x)<0 sur R donc f établit une bijection de R dans )-1/2; 1/2(
2)a) f(tanx) vérifie (f(tanx))' =(1+tan²x)(-1/pi(1+tan²x))=-1/pi, donc g(x)=(-1/pi)x+constante;
comme f(0) =0, g(0)=0, constante=0. g(x)=(-1/pi)x. dérivée d'une fonction composée: (f(u)'=u'f'(u)
b) je ne comprends pas ce que tu as écrit.
c) on trouve après un "peu" de calcul: k'(x)=-1:(pi(x²+1)) (k est dérivable comme composée de 2 fonctions qui le sont), donc f et k ont la même dérivée et différent donc d'une constante. Mais où est défini h(x)???

[DAYDAMOUN]

salut ;
je m'excuse cher ami ,je ne sais pas utiliser correctement les balises ,je suis un nouveau membre dans ce forum . Si je ne vous dérange pas,est ce que vous pouvez m'apprendre comment utiliser les balises ?
merci d'avance .