Primitive

[Robic]

La formule dit que la primitive de u'u^3, c'est (1/4)u^4

Ici, on a u(x) = x² + 1
Donc u'(x) = ? Je te laisse trouver. Tu verras que u'(x) ne fait pas x. Donc que x(x²+1)^3 n'est pas égal à u'u^3. Il faut donc préalablement le multiplier ou le diviser par quelque chose pour faire apparaître u'u^3.

Je n'arrive même pas à la dérivée

Tu as trouvé : F(x) = (1/4)(x²+1)^4 + k
F est de la forme u^4, avec u(x)=x²+1, et on sait que sa dérivée est 4u'u^3, où u'(x)=2x. La dérivée de F est donc :
F'(x)=(1/4)[4(2x)(x²+1)^3] = 2x(x²+1)^3.

C'est bien ce que je disais : tu as fourni la primitive de x-->2x(x²+1)^3, pas de x-->x(x²+1)^3.

[natier]

Je doit multiplier par un 1/2:
F(x) = (1/2)(1/4)(x²+1)^4 + k
?

[Robic]

Oui, mais tu dois surtout comprendre pourquoi ! (Bon, je crois que tu as compris, mais c'était compliqué... :lol3:)

[deltab]

Bonsoir.

Je doit multiplier par un 1/2:
F(x) = (1/2)(1/4)(x²+1)^4 + k
?

Tu n'avais pas la forme puisque donne Ce que tu avais c'est , il te manquait le facteur 2 , en écrivant , on aura alors à intégrer la forme où est une constanre (ici 1/2)

[natier]

Pourquoi u'(x) n'est pas égal à x puisque la fonction c'est u'(x)*u(x)
Moi j'aurais dit:
u'(x) = x
u(x) = x² + 1

sinon k est bien égal à 2?

Pour la 4, tu a écrit:
Pour le 4ème, si la solution est F(x) = (1/2)e^2x - 5e^x +3x + k, ça donne :
F(0) = 1/2 - 5 + 3 + k = -3/2 + k. (attention aux erreurs de calculs...)
On veut que F(0) = -1/2 je crois. Donc tu écris -3/2 + k = -1/2, ce qui revient à résoudre une équation d'inconnue k.

Je suis pas trop d'accord pour le plus +3, puisque c'est 3 * 0

Là, j'ai donc: -(9/2) + k = -(1/2)

[Robic]

Pourquoi u'(x) n'est pas égal à x puisque la fonction c'est u'(x)*u(x)

Non, ça c'est ce qu'on aimerait avoir afin d'appliquer directement la formule. Mais on ne l'a pas : la dérivée de x-->x²+1, ce n'est pas x-->x mais x-->2x.

Pour appliquer la formule avec u'(x)*u(x), il faut multiplier l'ensemble par 1/2 comme l'a expliqué Deltab. Ainsi on aura f(x) = 1/2[ 2x(x² + 1)^3 ] et cette fois la fonction entre crochet a bien la forme u'u.

Pour le 4 tu as raison, j'ai fait les calculs trop vite ! (Plus c'est simple, plus je me plante... :mur: ) Donc il ne te reste plus qu'à résoudre l'équation d'inconnue k.

[natier]

pour la 3: k = 2
pour la 4: k = 4

Dit moi si j'ai bon?

[Robic]

Pour la 4, c'est bon. Pour la 3 je ne sais pas car il me semble que tu ne nous as pas indiqué la valeur particulière (je viens de tout relire, j'ai rien trouvé).

[natier]

Pour la 3:
F(1) =(1/2)(1/4)(x²+1)^4 + k
=(1/2)(1/4)(1²+1)^4 + k

Donc j'ai trouvé -2

Ensuite j'ai un autre exo que je ne comprend pas du tout. Je vous demande encore de l'aide.
On considère la fonction f définie sur [0 ; 6] par : f(x) = (3x²/4) - 2x + 3 + ln(x + 1)
La fonction f modélise le coût marginal de production en fonction de la quantité x produite
en milliers d’objets, f (x) est en milliers d’euros.
1) Soit G la fonction définie sur [0 ; 6] par : G(x) = (x +1)ln (x +1) - x .
Montrer que G est une primitive de la fonction x ln (x +1) .
2) Le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total noté CT .
Sachant que les coûts fixes sont de 10 000 €, déterminer le coût total de production CT (x)
en fonction de la quantité x .

Je demande de l'aide pour les exo car il s'agit d'une option maths et donc les cours sont pas assuré par le prof

[Robic]

Je repassais par là...

Pour montrer que G est une primitive de x --> x ln (x +1), il suffit de montrer que G a pour dérivée x --> x ln (x +1). Donc c'est juste un calcul de dérivée.

Pour le 2), on demande de calculer le coût total. Il est précisé que le coût marginal est la dérivée du coût total, donc le coût total est une primitive du coût marginal (forcément !). Donc il faut faire un calcul de primitive. Et la constante ? J'imagine que c'est ce qui est donné par le coût fixe.

[natier]

Je sais pas du tout.
J'ai donné tout l'énoncé que j'avais

[Robic]

Oui, et j'ai donné les indications pour le faire. Donc c'est bon ?

[natier]

Pour la première sa devrait aller mais la seconde j'ai rien capté

[Robic]

Pour la 2) :

- Il faut calculer le coût total.

- On sait que « Le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total ». Puisque le coût marginal est la dérivée du coût total, ça veut dire que le coût total est une primitive du coût marginal. Or on connaît le coût marginal, c'est f(x) ! Il faut donc calculer une primitive de f.

- Une fois la primitive calculée, elle dépendra d'une certaine constante k qu'il faudra déterminer. Pour la déterminer, je pense qu'on utilise le fait que « les coûts fixes sont de 10 000 € ». En effet, les coûts fixes, ce sont les coûts qui existent même si on ne produit rien, c'est-à-dire même si x=0 (x est la quantité produite). Il faut calculer k de façon que la fonction CT(0)=10000 (où CT est la primitive trouvée, qui dépend de k).

[natier]

G(x) = (x +1)ln (x +1) - x .
C'est de la forme u * v avec u = x + 1 et v = ln(x + 1)
mais -x c'est quoi

[Robic]

mais -x c'est quoi

Houlà, tu n'as pas la grande forme...

Tu en es au calcul de la dérivée de G, n'est-ce pas ? Si G'(x) = x ln (x +1), ça prouvera que G est en effet une primitive de x --> x ln (x +1).

Pour calculer G', il faut en effet reconnaître u * v dans le terme de gauche (dont la dérivée est u'v+uv') comme tu l'as fait. Quant au terme de droite, -x, eh bien il faut le dériver directement ! Tout le monde sait dériver -x ! (Même toi !! :lol3: )

[natier]

Voilà ce que j'ai trouvé:
G'(X) = 1ln(x+1) + 1/(x+1) - 1
G'(X) = ln(x+1) + 1/(x+1) - 1/(x+1)
G'(X) = ln(x+1)

[Robic]

Ça a l'air juste, mais je n'ai pas la même 2è ligne que toi. Je détaille mon calcul :

G(x) = (x +1) ln (x +1) - x

1) Premier terme : x --> (x +1) ln (x +1).
Il est de la forme u * v comme tu l'avais remarqué.
Ici :
u(x) = x + 1, donc u'(x) = 1.
v(x) = ln( x + 1 ), donc v'(x) = 1 / (x + 1).
La dérivée de uv, c'est u'v+uv'. Donc :
(u'v+uv')(x) = 1 . ln( x + 1 ) + ( x + 1 ) / ( x + 1 ) = ln( x + 1 ) + 1.

2) Deuxième terme : x --> -x.
Sa dérivée est x --> -1.

3) Conclusion :
G'(x) = ln( x + 1 ) + 1 - 1 = ln( x + 1 ).

J'ai le même résultat que toi, mais avec des calculs légèrement différents... En tout cas ça pose un problème : G n'est pas une primitive de x ln( x + 1)... Ou alors tu voulais dire de x --> ln( x + 1 ) ? Là OK (et ce serait mieux rédigé).

[mikaelkill]

quelqun peux maider
(3+3)*4+13-(2*2)*8+(8+2*3)*0=?????

[natier]

Oui je voulais dire sa, j'ai fait une erreur en te recopiant l'énoncé:

Pour la 2), j'ai trouvé la primitive de f(x) mais après je bloque:
f(x) = (3x²/4) - 2x + 3 + ln(x + 1)
F(X) = ln(4x) - 2(1/2)x² + 3x + (x + 1)ln(x + 1)-x + k