Primitive de 1/(1-x²)

[J+10]

Bonjour à tous et à toutes :we:

J'aurais besoin d'aide pour démontrer que la primitive de 1/(1-x²) est égale à (1/2)ln((1+x)/(1-x)).

Si vous pouviez me donner quelques pistes pour m'aider à démontrer cette primitive, je vous en serais très reconnaissant :++:

Merci d'avance ! :ptdr:

[chbichib khaled]

J'aurais besoin d'aide pour démontrer que la primitive de 1/(1-x²) est égale à (1/2)ln((1+x)/(1-x)).

il n'existe pas une seul primitive de 1/(1-x²)
et il suffit de calculer la dérivée de (1/2)ln((1+x)/(1-x))

[J+10]

Ok d'accord, merci pour ta réponse, mais en fait j'aimerais tout simplement savoir comment faire pour trouver le ou les primitives de 1/(1-x²) sans en connaitre le résultat.

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Je ne dirai rien d'autre que "Décomposition en éléments simples"

[J+10]

Ok merci beaucoup =)

[chbichib khaled]

1/(1-x²)=1/2 ((1/1+x)+(1/1-x))
donc prim 1/(1-x²)=1/2(ln(x+1)-ln(1-x))

[benekire2]

Salut,

Une autre méthode ( mais ce n'est pas mieux que la DES évidemment) c'est quand on a vu les fonctions hyperboliques inverses, on sait que précisésément que la dérivée de argtanh est x --> 1/(1-x²) et comme on connait l'expression de argtanh avec des logarithmes ...

[J+10]

ok d'accord =) Merci pour toutes vos réponses en tout cas !

[Logicked]

Bonjour, il te suffit simplement d'intégrer ta fonction :

∫1/1-x^2 dx

En factorisant tu obtiens 1-x^2=(1-x)(1+x)

Cette expression est alors facilement intégrable suivant la méthode des fractions partielles ;

1/1-x^2 = a/1-x + b/1+x = [a(1+x) + b(1-x)]/1-x^2 = [(a-b)x + (a+b)]/1-x^2

Pour x=0 les solutions sont :

0 = a-b
a = b
2a = 1 alors a = 1/2
2b = 1 alors b = 1/2

∫1/1-x^2 dx = ∫(1/2)/1-x dx + ∫(1/2)/1+x dx

La dernière étape consiste donc à intégrer par substitution :

u = 1-x
du = -1dx soit -du=dx

-1/2∫1/u du = -1/2ln|u| = -1/2ln|1-x|

u = 1+x
du = 1dx soit du=dx

1/2∫1/u du = 1/2ln|u| = 1/2ln|1+x|

La primitive de ta fonction est donc bien égale à 1/2ln|1+x|-1/2ln|1-x|+c

Alors ∫1/1-x^2 dx = 1/2ln|(1+x)/(1-x)|+c