Weierstrass

par **jeje56** » 17 Fév 2008, 18:39

Bonjour,

Pour démontrer le théorème de Weierstrass :

Soit X partie compacte de R :
1) L'ensemble des polynômes sur X à valeur dans R est une sous algèbre de C(X,R) : évident
2) Soit x de X : x²+1 différent de 0
3) Soit x et y de X, x différent de y : x² différent de y²

Est-ce juste ?

Merci bcp !

par **jeje56** » 17 Fév 2008, 19:14

Personne ?...

par **mathelot** » 17 Fév 2008, 19:20

bjr,

peux tu préciser ? :doh:

par **jeje56** » 17 Fév 2008, 19:58

Je vérifie les 3 hypothèses du théorème de Stone Weierstrass pour dire que l'ensemble des polynômes de X dans R est dense dans C(X,R)

par **tito** » 17 Fév 2008, 20:48

bonjour, heu la démo du théoréme que tu as mis n'est pas tout à fait juste
car si tu considére X comme un compact de R et x,y appartenant X

x différent de y n'implique pas toujours que x² différent de y²

ex: 1 différent de -1 et (1)² = (-1)² pour X = [-1;1]

en fait pour étre juste il faudrait dire tout simplement que l'ensemble des fonctions polynomiales sur X vérifie les hypothése du th. de stone-weierstrass
car il existera tj un polynomes vérifiant les hyp. Mais ne prend comme exemple x²+1 car il sera peut étre faux pour certains X.

par **jeje56** » 17 Fév 2008, 21:02

Oui je suis d'accord, merci bcp !

par **tito** » 17 Fév 2008, 21:04

bonjour,

pour trouver un polynome qui vérifie toujours la 1er hyp.tu peut prendre un polynome constant différent du polynome nul (donc c'est vérifié pour tout compact de R)

pour la 2éme hyp. une fonction plynomial non surjective sur tout X devrait faire l'affaire donc du genre x^3.

qu'est ce que vous en pensez ?

par **tito** » 17 Fév 2008, 21:10

bonjour, grosse bourde de ma part x^3 est bijective donc surjective ! en fait il faut plutot que la fonction soit injective

par **jeje56** » 18 Fév 2008, 09:17

tito a écrit:Mais ne prend pas comme exemple x²+1 car il sera peut étre faux pour certains X.

Pourquoi ce polynôme ne vérifie pas la première condition pour tout compact X de R ?

Merci bpc !

par **ffpower** » 18 Fév 2008, 09:59

je ne comprend pas trop tes conditions.pour moi ds stone weirstrass,il faut juste une sous algebre unitaire A de C(X) separant les elements de X(cad telle que pour tout x,y de X,si f(x)=f(y) pour tout f dans A,alors x=y).or l ensemble des polynomes est une sous algebre unitaire,et elle separe les points de X:si P(x)=P(y) pour tout poly,alors x=y en prenant P=id

par **busard_des_roseaux** » 18 Fév 2008, 10:29

bonjour,

j'ai trouvé cette doc vraiment super, bien expliquée : içi

Cordialement

par **ffpower** » 18 Fév 2008, 10:59

ah je comprend mieux tes 3 conditions maintenant.je connaissais pas cette petite amelioration consistant a remplacer unitaire par "pour tout x,il existe f dans A telle que f(x) soit non nul".donc dans notre cas,il suffit de prendre f=1

par **jeje56** » 22 Fév 2008, 11:02

f=1 pr la première condition : ok

Et pr la seconde ?

Merci bcp !

par **jeje56** » 22 Fév 2008, 11:07

Une fonction injective convient, je n'avais pas relu le début du topic... Merci à tous

Weierstrass

Weierstrass

Qui est en ligne