Weierstrass trigonométrique à partir de Stone-Weierstrass

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schelde
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Weierstrass trigonométrique à partir de Stone-Weierstrass

par schelde » 07 Nov 2018, 16:18

Bonjour,

Voilà, je cherche à obtenir le théorème de Weierstrass trigonométrique (les polynômes trigo sont denses dans l'espace des fonctions continues -périodiques ) comme corollaire du théorème de Stone-Weierstrass (Si K compact et A sous-algèbre unitaire séparante de stable par conjugaison, alors, A est dense dans )

Pour cela, on considère et

A vérifie les hypothèses de Stone-Weierstrass, donc A dense dans .

Maintenant, il reste à "identifier" à
Soit défini par
J'aimerais montrer que c'est un homéomorphisme. Comme cela, l'image par de A (polynômes trigonométriques) sera dense dans (image par de ).
On a facilement que :
- est linéaire et c'est une isométrie.
- est injective.
Il reste donc à voir que est surjective.
Et là, je bloque. Voici comment j'ai commencé :
Soit . On cherche telle que
Alors là, j'ai envie de poser , sauf que, dans ce cas, f n'est plus a priori continue (il n'existe pas de détermination continue de l'argument (ou du log) sur tout entier...

Quelqu'un aurait-il une solution ?

Merci par avance...



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Ben314
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Re: Weierstrass trigonométrique à partir de Stone-Weierstras

par Ben314 » 07 Nov 2018, 16:32

Salut,
Quand on a de la bouteille, on s'emmerde pas et "on pose" directement qui est bien définie vu que, bien que ne soit pas bien défini, l'est quand même du fait de la -périodicité de .

Si tu veut le faire "plus conventionnellement", tu peut effectivement poser .
- Si est la détermination dans , ça te donne la continuité de sauf éventuellement en .
- Si est la détermination dans , ça te donne la continuité de sauf éventuellement en .
Donc il suffit d'expliquer que, vu la périodicité de le résultat du calcul de ne dépend pas de la détermination choisie pour pour démontrer la continuité de sur tout entier.

Bref, c'est totalement évident modulo de bien se souvenir qu'il n'y a pas UNE fonction argument, mais DES fonctions argument. Une autre façon de voir le bidule, c'est de comprendre que, certes, il n'y a pas de détermination continue de l'argument sur tout entier, mais que quelque soit le point de , il existe une détermination de l'argument qui est continue au voisinage de . (et si ça t’intéresse, la "théorie" qu'il y a derrière, ça s’appelle celle des "revêtements" : R->C;theta->exp(i.theta) c'est un "revêtement" du cercle trigo. : localement, ça admet des inverses continus)
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Re: Weierstrass trigonométrique à partir de Stone-Weierstras

par mathelot » 07 Nov 2018, 18:09

bonjour,
est ce qu'il y a un lien entre les polynômes trigonométriques de Stone-Weierstrass et la série de Fourier ?
(on sait que certaines fonctions continues périodiques ne sont pas égales à leurs séries de Fourier)

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Re: Weierstrass trigonométrique à partir de Stone-Weierstras

par Ben314 » 07 Nov 2018, 18:50

Oui et non : dans les deux cas, tu approxime une fonction (2.pi périodique) par des exp(n.i.x), mais c'est pas tout à fait le même problème :
- Dans le cas de Stone-Weierstrass on ne le fait que pour des fonctions continues, on "approxime" à l'aide de la "norme sup" (i.e. de la convergence uniforme), et on ne cherche pas à ce que la suites des polynômes "approximant" forment une série (i.e. que le n+1-ième polynôme s'obtienne en ajoutant un "petit quelque chose" au n-ième).
- Alors que pour les séries de Fourier, on approxime avec la norme 2 (racine carré de l'intégrale du carré), et, modulo des hypothèses, ça donne une convergence simple de la série vers la fonction, et encore uniquement là où cette dernière est continue.

Mais, si tu te limite au cas des fonctions bien régulières (de classe C^1 ça doit suffire), c'est plus ou moins la même chose.
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Re: Weierstrass trigonométrique à partir de Stone-Weierstras

par mathelot » 07 Nov 2018, 19:13

merci,Ben.

je signale qu'il y a une version constructive du théorème de Weierstrass à l'aide des polynômes de Bernstein
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Bernstein
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stone-Weierstrass#Th%C3%A9or%C3%A8me_d'approximation_de_Weierstrass

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Re: Weierstrass trigonométrique à partir de Stone-Weierstras

par schelde » 08 Nov 2018, 20:40

Ben314 a écrit:Salut,
Quand on a de la bouteille, on s'emmerde pas et "on pose" directement qui est bien définie vu que, bien que ne soit pas bien défini, l'est quand même du fait de la -périodicité de .

Si tu veut le faire "plus conventionnellement", tu peut effectivement poser .
- Si est la détermination dans , ça te donne la continuité de sauf éventuellement en .
- Si est la détermination dans , ça te donne la continuité de sauf éventuellement en .
Donc il suffit d'expliquer que, vu la périodicité de le résultat du calcul de ne dépend pas de la détermination choisie pour pour démontrer la continuité de sur tout entier.

Bref, c'est totalement évident modulo de bien se souvenir qu'il n'y a pas UNE fonction argument, mais DES fonctions argument. Une autre façon de voir le bidule, c'est de comprendre que, certes, il n'y a pas de détermination continue de l'argument sur tout entier, mais que quelque soit le point de , il existe une détermination de l'argument qui est continue au voisinage de . (et si ça t’intéresse, la "théorie" qu'il y a derrière, ça s’appelle celle des "revêtements" : R->C;theta->exp(i.theta) c'est un "revêtement" du cercle trigo. : localement, ça admet des inverses continus)

Salut,
Ok, merci beaucoup ;)

 

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