Bonjour,
Voilà, je cherche à obtenir le théorème de Weierstrass trigonométrique (les polynômes trigo sont denses dans l'espace des fonctions continues -périodiques ) comme corollaire du théorème de Stone-Weierstrass (Si K compact et A sous-algèbre unitaire séparante de stable par conjugaison, alors, A est dense dans )
Pour cela, on considère et
A vérifie les hypothèses de Stone-Weierstrass, donc A dense dans .
Maintenant, il reste à "identifier" à
Soit défini par
J'aimerais montrer que c'est un homéomorphisme. Comme cela, l'image par de A (polynômes trigonométriques) sera dense dans (image par de ).
On a facilement que :
- est linéaire et c'est une isométrie.
- est injective.
Il reste donc à voir que est surjective.
Et là, je bloque. Voici comment j'ai commencé :
Soit . On cherche telle que
Alors là, j'ai envie de poser , sauf que, dans ce cas, f n'est plus a priori continue (il n'existe pas de détermination continue de l'argument (ou du log) sur tout entier...
Quelqu'un aurait-il une solution ?
Merci par avance...