Bonjour à tous,
J'ai un exo dont le but est de montrer le théorème de Weierstrass (version "réelle") à partir de sa version trigonométrique (toute fonction continue et -périodique sur [a,b] est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales trigonométriques).
Je bloque sur la première question :
Soit continue et >0. On pose pour tout
Montrer qu'il existe une fonction polynomiale trigonométrique P telle que .
En déduire qu'il existe tels que .
Indication : g est une fonction paire.
Alors, pour le début (existence de P), c'est facile en appliquant la version trigonométrique du théorème : on trouve une suite () qui converge vers g : il existe un entier tel que pour . Donc, on peut prendre .
Ensuite, j'avais envie de dire qu'on pouvait choisir ce polynôme comme étant un polynôme réel, car g est réelle (les parties imaginaires des convergent donc uniformément vers 0). Mais je n'arrive pas à l'écrire proprement....
En admettant cela, j'ai donc avec
Il reste donc à montrer que les sont tous nuls, mais je ne vois pas comment faire (enfin si, je vois venir le truc que comme g est paire, les "termes impairs" (en sinus) vont partir, mais je ne vois encore une fois pas comment justifier cela...
Voilà, merci d'avance pour votre aide...