Vecteurs

[Doraki]

Vect(Im f) c'est le sous-espace vectoriel de E engendré par l'ensemble Im f. Comme on suppose que cet ensemble génère E (puisque c'est une base de E), ben c'est E.

et Vect(X) c'est la réunion de tous les sous-espaces vectoriels de E qui sont engendrés par une partie finie de X.
En effet, si t'as un vecteur u dans Vect(X), c'est qu'il existe un entier n et n vecteurs x1...xn de X, et n réels a1...an de R tel que u = a1*x1+...+an*xn. Donc x est dans Vect(x1...xn), donc il est bien dans un espace vectoriel engendré par une partie finie de X.

Donc Vect(Im f), c'est la réunion pour toutes les parties finies A de Im f, de Vect(A).
Une partie finie A incluse dans Im f, c'est la même chose que l'image par f d'une partie finie de R,
donc Vect(Im f) = la réunion pour toutes les parties finies A de R, des Vect(f(A)).

Et comme j'ai voulu bien écrire en détail cette réunion j'ai détaillé en découpant selon la taille n de la partie finie.

Si n est un entier et x1...xn sont des réels, Vect(f(x1)...f(xn)) c'est l'espace vectoriel engendré par f(x1)...f(xn)
ça veut dire la réunion de tous les Vect(x1...xn) lorsque (x1,...,xn) parcourt tous les n-uplets possibles de réels.
Donc la réunion de tous les vect des parties de Im f à n éléments.
Et ben c'est la réunion de tout ça pour tous les entiers n. Donc la réunion de tous les vects de toutes les parties finies de Im f.




Pour l'injection de R² dans R, c'est classique : on écrit les deux nombres en décimal et on mélange les décimales.

Pour pas s'embêter, injecte R dans R+* (avec la fonction exponentielle) pour pas avoir des histoires de signes.
Puis pour chaque réel x > 0, tu choisis une suite (dn) tel que x = somme de dn*10^n, où dn est dans {0...9} et est nul pour n assez grand.

Ensuite tu injectes R+* x R+* dans R en posant f(somme de dn*10^n, somme de en*10^n) = somme de (10*dn+en)*101^n.

Le seul moyen d'avoir 2 écritures en base 101 qui valent le même nombre, c'est d'avoir un truc du style 1.00000... = 0.9999... Mais comme j'ai fait exprès qu'on n'utilise jamais le chiffre 100, c'est impossible. Donc c'est une injection.

Une fois que t'as une injection de R² dans R, ben tu peux l'itérer pour faire une injection de R^3 dans R, une injection de R^4 dans R, etc.

[Cryptocatron-11]

Maintenant, R^R n'a pas le même cardinal que R :

Prend une fonction g : R -> R^R.
Soit f : R -> R la fonction définie par f(x) = g(x)(x)+1.
Alors pour tout x de R, g(x)(x) est différent f(x), donc g(x) n'est pas la même fonction que f.
Donc f n'est pas dans l'image de g, donc g n'est pas surjective.
En particulier il ne peut pas exister de bijection entre R^R et R.

Ouais mais le problème c'est que je vois pas pourquoi on pourrais pas appliquer ton truc à R² ou R^3 ou encore à R^n
Si j'aurai pris g : R -> R²
Et soit f : R -> R la fonction définie par f(x) = g(x)*(x)+1.
alors g(x)*(x) est aussi différent de f(x) non ?

Et peux tu me donner des exemples d'espace de dimension R s'il te plaît ? Si je prend R^Q , là aussi c'est pas de dimension card(Q) ?

[Doraki]

Ouais mais le problème c'est que je vois pas pourquoi on pourrais pas appliquer ton truc à R² ou R^3 ou encore à R^n
Si j'aurai pris g : R -> R²
Et soit f : R -> R la fonction définie par f(x) = g(x)*(x)+1.
alors g(x)*(x) est aussi différent de f(x) non ?

Ben non parceque g(x) est un élément de R², donc ce n'est pas une fonction de R dans quelquechose, et donc g(x)(x), ça ne veut rien dire.
Et puis si tu veux montrer que g n'est pas surjective, tu dois trouver un élément de R² qui n'est pas dans l'image de g. Donc tu pars mal en essayant de définir une fonction dont le but est d'être un élément de R².

Et peux tu me donner des exemples d'espace de dimension R s'il te plaît ? Si je prend R^Q , là aussi c'est pas de dimension card(Q) ?

Non, R^Q est de dimension card(R^Q) = card(R), justement.

[Cryptocatron-11]

Une application de {1,2} dans R c'est bien un élément de R² ?

[Doraki]

si je prends g : R -> R² définie par g(x) = (x+1,2x),
tu dis que tu définis f : R -> R par f(x) = g(x)*(x)+1.
C'est quoi f(3) ?

[Cryptocatron-11]

Je ne suis pas sur de voir le rapport avec ma question mais ça doit faire f(3)=(12,18)+1 . Je crois que ça veut rien dire.

[Cryptocatron-11]

Bon ,

J'ai du mal à faire la différence entre deux trucs

1er truc

et et appartenant à E
on aura et donc ( et donc R²

2ème truc
Maintenant si je fais avec g(x) et h(x) des éléments de R
Alors j'ai R²

Au final :
j'identie à

Donc je me retrouve avec
=




C'est pour ça que je me torture à croire qu'une application f est un élément de R². Sauf que f c'est une fonction et ça ne peut pas être un élément de R² comme on l'entend.

Mais je pense qu'il y a deux notations pour R² qui veulent pas dire la même chose :
- R² pour designer l'ensemble des applications d'un ensemble de deux éléments dans R
- Et un autre R² pour désigner le couple (défini plus haut) dans un plan de dimension 2

[Doraki]

C'est essentiellement la même chose oui.
Là je crois que tu saurais donner une bijection entre R² et R^{1;2}, ça devrait te satisfaire, non ?

et et appartenant à E

E = ... ?

2ème truc
Maintenant si je fais avec g(x) et h(x) des éléments de R

C'est quoi g1 et g2 ??

[Cryptocatron-11]

E = ... ?

dans la definition de f j'ai mis {1,2} mais on a qu'a dire et

C'est quoi g1 et g2 ??

C'est des fonctions de R dans R
Je pensais prendre n'importe quoi. Par exemple et

[Doraki]

Ben alors f est une fonction de {1;2} dans R, ce qui est un peu pareil qu'un élément (f(1),f(2)) de R²
et g est une fonction de R dans R².

g n'est pas DU TOUT le même genre de truc que f.

Tu parles toujours de ça ?

Si j'aurai pris g : R -> R²
Et soit f : R -> R la fonction définie par f(x) = g(x)*(x)+1.
alors g(x)*(x) est aussi différent de f(x) non ?

[Cryptocatron-11]

C'est essentiellement la même chose oui.
Là je crois que tu saurais donner une bijection entre R² et R^{1;2}, ça devrait te satisfaire, non ?

Par contre pour la bijection , je pense que g1 et g2 doivent elles même être bijectives car sinon , on va se retrouver avec moins d'éléments que dans R^{1;2}. Et comme j'ai pris exp(x) ça risque de bloquer vu que exp(x) ne peut pas être négative... Je me trompe ?

Tu parles toujours de ça ?

Euh non , c'est indépendant

[Doraki]

Par contre pour la bijection

je parlais d'une bijection entre R² et R^{1;2}. Pas de g.
Je n'ai pas la MOINDRE idée de ce que tu veux faire avec ton g.

[Cryptocatron-11]

je parlais d'une bijection entre R² et R^{1;2}. Pas de g.
Je n'ai pas la MOINDRE idée de ce que tu veux faire avec ton g.

Ah oui d'accord. J'étais parti sur autre chose. Je voulais parler d'une bijection entre l'ensemble des g(x) (en evaluant g suivant différente valeur de x) et l'ensemble des application de E dans R

En gros , à chaque application de R^{1;2} corrsepond un et un seul g(x)

Ce que j'appelle l'ensemble des g(x) c'est

et ce que j'appelle l'ensemble des application de E dans R c'est mais je sais pas si on l'écrire comme ça

[Doraki]

Moi l'ensemble des applications de E dans R, je l'écris R^E.

Donc tu veux une bijection g entre R et R^{1;2} ?

[Cryptocatron-11]

Moi l'ensemble des applications de E dans R, je l'écris R^E.

Donc tu veux une bijection g entre R et R^{1;2} ?

Oui voilà c'est pour ça que je disais qu'avec exp(x) vu qu'elle ne peut pas être négative eh ben ça coincerait

[Doraki]

Ben ça existe mais c'est dur à décrire.

[Cryptocatron-11]

Ben ça existe mais c'est dur à décrire.

bah au lieu de prendre pour on aurait pris là j'pense ça aurait marché vu que est cette fois ci bien bijective de R dans R. Peut être que je me trompe...

[Doraki]

ben la fonction g : R -> R² définie par g(x) = (2x+6,x+1) n'est pas bijective parceque, au hasard (564165,-4575478) n'est pas dans son image.

[Cryptocatron-11]

Effectivement, :stupid_in

En tout cas merci pour ces explications qui m'ont été très utiles

[Cryptocatron-11]

avec la base de cardinal card(R) tu vas construire l'ev des fonctions à support fini, donc il t'en manque un paquet pour avoir R^R.

Maintenant, j'aurais plutôt dit à support dénombrable non ?