Vecteurs

[Cryptocatron-11]

Bonsoir

J'ai un question qui me tracasse.
Pour simplifier les choses , j'ai choisit l'espace vectoriel

on peut écrire le vecteur comme


(Ces coordonnées changent suivant les différentes bases dans lesquelles on se place)

Mais , Est ce qu'à un moment cette décomposition s'arrête ? Ou alors continue t-on ainsi jusqu'à l'infini ?

[Doraki]

Ben il y a une infinité de bases, et pour chacune de ces bases, on peut écrire la décomposition de x dans cette base.

[Cryptocatron-11]

OK je vois. Merci car ça m'a aidé à comprendre l'espace vectoriels de fonctions. J'avais tout faux avant ta réponse. Pour moi t->exp(t) c'était pareil que exp(t) et je comprenais pas pourquoi t->exp(t) devait être ds un truc de dimension infini alors que exp(t) est un réel quelconque.


Il fallait montrer que la famille {t->exp(t),t-cos(t)} était libre.

On peut dire que exp c'est un élément de R^R. Car exp possède une infinité d'indice i (qui est card(R) ) a qui elle leur fait correspondre une valeur réelle v(i). Naîvement je pense que c'est une façon de voir les choses en faisant gaffe que chaque " i " se touchent bien ... non ?

Donc dans cet espace vectoriel , le vecteur est de la forme ( ...., v(0) , ... , v(1) , .... ) et il a R composante

[Doraki]

je suis pas sûr de voir le rapport entre ton problème pour comprendre les fonctions en tant que vecteur et le fait qu'il y ait plusieurs bases dans un espace vectoriel.

R^R est un R-espace vectoriel.
f : t -> exp(t) et g : t -> t-cos(t) sont des éléments de cet espace vectoriel.
Une fonction de R dans R c'est une fonction de R dans R quoi.
Pour connaitre une fonction f il faut connaitre la valeur de f(x) pour chaque x dans R
C'est bien le produit de R copies de R.

Pour montrer que (f,g) est libre, tu dis :

supposons qu'il existe a et b dans R tel que a.f+b.g = la fonction nulle.
Alors par exemple, en évaluant en 0, a*f(0) + b*g(0) = la fonction nulle (0) = 0
et en évaluant en 1, a*f(1) + b*g(1) = la fonction nulle (1) = 0.
Après on résout le système obtenu et à moins de vraiment être malchanceux, on conclut que a=b=0.
Et donc que (f,g) est libre.

Si tu veux un point de vue plus abstrait,
pour chaque réel x, on a l'application linéaire ev(x) : R^R -> R qui s'appelle "évaluation en x", qui à f associe f(x).
Avec ça on peut construire une application linéaire F : R^R -> R² en prenant F = ev(0),ev(1) :
F(f) = (f(0),f(1))
Maintenant notre preuve que (f,g) est libre, en fait elle dit juste que quand on restreint F à Vect(f,g) :
F : Vect(f,g) -> R²,
ben c'est une application injective, (c'est exactement le calcul qu'on a fait)
et donc que Vect(f,g) est de dimension 2 et que F est un isomorphisme entre Vect(f,g) et R².

[Cryptocatron-11]

je suis pas sûr de voir le rapport entre ton problème pour comprendre les fonctions en tant que vecteur et le fait qu'il y ait plusieurs bases dans un espace vectoriel.

Oui car je n'ai pas dit d'ou venait mon problème mais y'en avait un.
En fait quand j'ai voulu dire

Soit la partie {t->exp(t),t-cos(t)}.
On peut dire que exp c'est un élément de R^R. Car exp possède une infinité d'indice i (qui est card(R) ) a qui elle leur fait correspondre une valeur réelle v(i). Naïvement je pense que c'est une façon de voir les choses en faisant gaffe que chaque " i " se touchent bien ... non ? Donc dans cet espace vectoriel , le vecteur est de la forme ( ...., exp(0) , ... , exp(1) , .... ) et il a R composante

Ca correspond à ce passage de cours que j'ai lu ici

Et au début, je ne voyais pas les choses de cet oeil là. Je comprenais pas pourquoi l'espace des fonctions continues de R dans R était de dimension infini. Je croyais qu'il était de dimension 1 comme pour l'espace des rééls cité dans mon premier post. Mais là c'est bon grâce à ce lien j'ai pu comprendre pourquoi.

Pour montrer que (f,g) est libre, tu dis :

supposons qu'il existe a et b dans R tel que a.f+b.g = la fonction nulle.
Alors par exemple, en évaluant en 0, a*f(0) + b*g(0) = la fonction nulle (0) = 0
et en évaluant en 1, a*f(1) + b*g(1) = la fonction nulle (1) = 0.
Après on résout le système obtenu et à moins de vraiment être malchanceux, on conclut que a=b=0.
Et donc que (f,g) est libre.

Si tu veux un point de vue plus abstrait,
pour chaque réel x, on a l'application linéaire ev(x) : R^R -> R qui s'appelle "évaluation en x", qui à f associe f(x).

Jusque là ça va. Mais pour reprendre mon exemple pour exp. Ton truc peut devenir
ev(en 0 et en 1) : R^R -> R²
[INDENT][INDENT][INDENT] ( ...., exp(0) , ... , exp(1) , .... ) -> (exp(0),exp(1)) [/INDENT] [/INDENT] [/INDENT]

Puis on refait une deuxième évaluation
ev(en 0 et en 1) : R^R -> R
[INDENT][INDENT][INDENT] ( ...., cos(0) , ... , cos(1) , .... ) -> (cos(0),cos(1))[/INDENT] [/INDENT] [/INDENT]


et je regarde si (exp(0),exp(1)) et (cos(0),cos(1)) sont CL ou pas. S'ils ne sont pas colinéaires c'est que c'est libre ... et pour plus d'assurance on aurait pu se restreindre à 3 composantes au lieu d'en prendre 2 comme on a fait, non ?

Avec ça on peut construire une application linéaire F : R^R -> R² en prenant F = ev(0),ev(1) :
F(f) = (f(0),f(1))
Maintenant notre preuve que (f,g) est libre, en fait elle dit juste que quand on restreint F à Vect(f,g) :
F : Vect(f,g) -> R²,
ben c'est une application injective, (c'est exactement le calcul qu'on a fait)
et donc que Vect(f,g) est de dimension 2 et que F est un isomorphisme entre Vect(f,g) et R².

Là par contre, je pense ne pas avoir compris. Déjà je comprend pas pourquoi Vect(f,g) est de dimension 2. Je pensais qu'il était de dimension R vu que f et g sont deux éléments de R^R

[Doraki]

Vect(f,g) c'est le sous-espace vectoriel de R^R engendré par f et g.
Il est donc de dimension 0, 1, ou 2 puisque (f,g) est une famille de taille 2 qui engendre Vect(f,g)

Et ce que tu appelles "ev(en 0 et en 1)" c'est ce que j'appelle F.


Aussi, R^R n'est pas "de dimension R".
Une base de R^R a la même cardinalité que R^R. donc plus gros que R.

[Cryptocatron-11]

Vect(f,g) c'est le sous-espace vectoriel de R^R engendré par f et g.
Il est donc de dimension 0, 1, ou 2 puisque (f,g) est une famille de taille 2 qui engendre Vect(f,g)

Ah oui parce ces deux vecteurs s'ils sont libres , engendrent un plan.

Et ce que tu appelles "ev(en 0 et en 1)" c'est ce que j'appelle F.

OK

Aussi, R^R n'est pas "de dimension R".
Une base de R^R a la même cardinalité que R^R. donc plus gros que R.

Bah je pensais que comme cette base est formée de R vecteurs alors on est en dim R. Après je suis d'accord pour la cardinalité mais je vois toujours pas pourquoi c'est plus gros que R ...

Je pensais à
R^1 => dim 1
R^2 => dim 2
R^3 => dim 3
.
.
.
R^R => dim R
.
.
.

[Doraki]

Ben donnes-moi ce que tu penses être une base de R^R, pour voir.

[Cryptocatron-11]

Bah une famille de R vecteurs qui appartiennent tous à R^R et qui sont libres. Après formellement je sais pas trop comment l'écrire.

[Doraki]

Je vois que ton cours est imprécis et dis des trucs faux (en tout cas 2.2).

Si E est un espace vectoriel
Une famille est génératrice de E si tout élément de E s'écrit comme combinaison linéaire FINIE d'éléments de cette famille.
Dans les espaces vectoriels, les combinaisons linéaires infinies, ça ne veut rien dire.
La somme qui existe c'est une somme de 2 vecteurs.
En faisant plusieurs sommes, on peut parler de sommes finies, mais jamais d'une somme infinie.

Il me semble que tous les espaces vectoriels de fonctions que tu vas regarder sont de dimension R^R (et sont donc tous isomorphes). Mais bon comme on ne peut pas donner de base explicitement, ça sert pas à grand chose.

[Cryptocatron-11]

Je vois que ton cours est imprécis et dis des trucs faux (en tout cas 2.2).

J'ai regardé juste le 2.1 pour " l'image naïve " . J'ai trouvé que ça aidait à mieux comprendre...
Est ce que ça aussi c'est à jeter à la poubelle ?

Il me semble que tous les espaces vectoriels de fonctions que tu vas regarder sont de dimension R^R (et sont donc tous isomorphes).

Hein ? Je croyais que l' ev des applications de R->R contenait les mêmes éléments l'ev R^R qui est de dim R. Pourquoi dis tu que c'est de dim R^R ?
C'est comme quand on dit qu'on est dans R². La dimension c'est 2 et non pas R² ... non ?

[Doraki]

Parceque la dimension d'un espace vectoriel, ce n'est pas ce que tu crois que ça veut dire.

La dimension c'est le cardinal d'une base quelconque de l'espace vectoriel (elles sont toutes de même cardinal)

Pour tout ensemble X, l'ensemble R^X (les fonctions de X dans R) est un espace vectoriel quand on le munit des opérations naturelles + et *. La taille de X, ça n'a pas de nom et ça ne s'appelle pas "dimension de R^X" en général.

En dimension finie, c'est le même nombre. Mais pas en dimension infinie.
Quand X est infini, une base de R^X est impossible à expliciter, donc c'est pas tellement utile de vouloir en parler.

Et il y a des espaces vectoriels qui ne sont pas de la forme R^X pour un ensemble X,
par exemple ceux qui sont "de dimension N".
Par exemple l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans R.

[Cryptocatron-11]

La dimension c'est le cardinal d'une base quelconque de l'espace vectoriel (elles sont toutes de même cardinal)

Le cardinal de la base de l'ev des applications R->R c'est bien R ?

La taille de X, ça n'a pas de nom et ça ne s'appelle pas "dimension de R^X" en général.

Donc dans R² , 2 n'a pas de nom ... ou alors c'est juste en dimension inifni que que ça n'a pas de nom vu que tu dis que cette "taille" n'est jamais la même en dim infini

[Doraki]

Le cardinal de la base de l'ev des applications R->R c'est bien R ?

Non, parcequ'un espace vectoriel de dimension "cardinal de R", a même cardinal que R.

Soit E un espace vectoriel de dimension cardinal de R et soit f : R -> E une fonction injective telle que
Im(f) est une base de E. On veut montrer qu'il existe une injection de E dans R.

Comme cette base génère E, tout élément de E s'écrit sous la forme de combinaison linéaire d'éléments de Im(f). On a donc une injection :
(toutes les réunions sont des unions disjointes)



Maintenant, Vect(f(x1)...f(xn)) est isomorphe à R^n, donc a même cardinalité que R^n, donc pour tout n,x1...xn, on a une injection
Donc on a une injection
Et finalement,

Comme f : E -> R est injective, on a donc des injections dans les deux sens, et donc E et R ont même cardinal.


Maintenant, R^R n'a pas le même cardinal que R :

Prend une fonction g : R -> R^R.
Soit f : R -> R la fonction définie par f(x) = g(x)(x)+1.
Alors pour tout x de R, g(x)(x) est différent f(x), donc g(x) n'est pas la même fonction que f.
Donc f n'est pas dans l'image de g, donc g n'est pas surjective.
En particulier il ne peut pas exister de bijection entre R^R et R.

[Judoboy]

@Cryptocatron : avec la base "canonique" de cardinal card(R) tu vas construire l'ev des fonctions à support fini, donc il t'en manque un paquet pour avoir R^R.


@Doraki : -Comment on montre qu'un ensemble infini est équipotent à l'ensemble de ses parties finies ?

-Avec la base "canonique" associée aux parties de R on génère quel EV exactement, j'arrive pas à l'expliciter ?

-On a une surjection de P(R²) dans R^R mais est-ce qu'on a pour autant card(R^R) = card (P(R)) sans l'hypothèse du continu ? Et dans le cas d'un ensemble infini quelconque ?

[Cryptocatron-11]

Ah ouais mais je vois !!

Avec une base comportant R vecteurs on génère un espace de dim R.

[Judoboy]

Ah ouais mais je vois !!

Avec une base comportant R vecteurs on génère tout les éléments de R. Et pour générer un élément de R^R , il m'en faut beaucoup plus.

On n'a jamais parlé d'éléments de R ici ? Comment tu veux générer des éléments de R avec des vecteurs de R^R ?

Et pour générer un élément donné de R^R t'as juste besoin de lui-même...

[Cryptocatron-11]

On n'a jamais parlé d'éléments de R ici ? Comment tu veux générer des éléments de R avec des vecteurs de R^R ?

Non mais je me suis mal exprimé. On génére un espace de dimension R si tu préfères car on a pris R vecteur.

Si on avait pris deux vecteurs libres de R^R , on aurait créé un plan

[Doraki]

@Doraki : -Comment on montre qu'un ensemble infini est équipotent à l'ensemble de ses parties finies ?

Il me semble qu'il faut au moins l'axiome du choix pour montrer que si X est infini alors X est équipotent à X*X, et que ce n'est pas facile à montrer. Là je sais plus trop comment on fait.
Une fois qu'on a une injection f : X*X -> X ; Si X est infini on a une injection g : N -> X.
Ensuite on choisit un ordre sur chaque partie finie de X, puis on prend
({x1...xn}) = f(g(n),f(x1,f(x2,f(...,f(x(n-1),xn)...)))). est alors une injection de l'ensemble des parties finies de X vers X.

-Avec la base "canonique" associée aux parties de R on génère quel EV exactement, j'arrive pas à l'expliciter ?

En supposant que tu parles des fonctions indicatrices de A pour chaque partie A de R,
ce n'est pas une famille libre, et elle engendre le sev fonctions qui prennent un nombre fini de valeurs.

-On a une surjection de P(R²) dans R^R mais est-ce qu'on a pour autant card(R^R) = card (P(R)) sans l'hypothèse du continu ? Et dans le cas d'un ensemble infini quelconque ?

on a pas besoin de l'hypothèse du continu pour dire que R^R = (2^N)^(2^N) = 2^(N*2^N) = 2^2^N = 2^R.
Dans le cas d'un ensemble infini quelconque, j'en sais absolument rien.

[Cryptocatron-11]

Je vois bien ce que répresente Vect(Im f).
Par contre pour je ne suis pas sur de bien comprendre.

Est ce que ça peut vouloir dire avec ?


Si oui je vois pas l'injection de vect( im(f)) (ensembles des CL de card(R) vecteurs qui sont des éléments d'un espace de dimension R ) dans ce que tu as écrit après la flèche ... :triste:

Maintenant, Vect(f(x1)...f(xn)) est isomorphe à R^n, donc a même cardinalité que R^n, donc pour tout n,x1...xn, on a une injection

Ca OK. En plus ces (pour i allant de 1 à n) sont libres donc ils forment une base de R^n

Ca par contre je suis bloqué. Je comprend pas l'injection. Et t'as mis un indice r c'était pas plutôt n que tu voulais mettre ? car je vois pas qui est ce r là.

Donc on a une injection
Et finalement,

Bon ben ça vu que j'ai pas compris les trois trucs du dessus , je risque pas de comprendre ça.

Donc si tu pouvais m'expliquer plus en détail les trois trucs du dessus ça serait impeccable :lol3:

Ps : l'algèbre n'est pas ma tasse de thé car j'en ai peu fait mais c'est une matière qui me motive bien et que j'ai bien envie de comprendre car je la trouve fondamentale.