Valuation d'un polynôme

[Guigui1Pierre]

Bonjour à tous,

Je voudrais savoir si la valuation d'un polynôme P de IK[X] en a dans IK correspond bien à cette définition que j'ai trouvée sur wikipedia:
sup { k dans IN / il existe R dans IK[X] tel que P = ((X-a)^k)R }

Merci à ceux qui m'aideront

[GaBuZoMeu]

Oui, c'est la multiplicité de a comme racine de P (0 si a n'est pas racine, 1 si a est racine simple, etc.).

[Guigui1Pierre]

C'est parce que je cherche à démontrer:
"toute famille de polynômes de IK[X] échelonnés en valuation (il n'est pas précisé en quel point de IK) est libre"
J'ai écrit une combinaison linéaire nulle d'une famille de polynômes de IK[X] échelonnés en valuation en 0. Je n'arrive pas à prouver que les scalaires de cette combinaison linéaire sont tous nuls.

[LB2]

C'est plus simple en utilisant la base de Taylor au point idoine

[GaBuZoMeu]

J'ai écrit une combinaison linéaire nulle d'une famille de polynômes de IK[X] échelonnés en valuation en 0. Je n'arrive pas à prouver que les scalaires de cette combinaison linéaire sont tous nuls.

Ça se passe pourtant exactement comme pour le degré, mais dans "l"autre sens" en quelque sorte : on regarde le scalaire coefficient du polynôme de plus petite valuation et pan, il doit être nul ; puis le scalaire coefficient du polynôme qui a la deuxième plus petite valuation ...

[Guigui1Pierre]

J'ai trouvé. Je crois que je m'étais compliqué la tâche en prenant un polynôme R différent pour chaque valuation k (avec les notations de mon 1er message). La famille de polynômes échelonnés est-elle encore libre si le polynôme R varie en fonction des valuations k? En tout cas, la base de Taylor m'a mis sur la bonne voie. Merci.

[GaBuZoMeu]

J'ai trouvé. Je crois que je m'étais compliqué la tâche en prenant un polynôme R différent pour chaque valuation k (avec les notations de mon 1er message). La famille de polynômes échelonnés est-elle encore libre si le polynôme R varie en fonction des valuations k? En tout cas, la base de Taylor m'a mis sur la bonne voie. Merci.

Que racontes-tu ? Ce message est incompréhensible, et j'ai l'impression que tu es maintenant complètement dans le brouillard.
Prenons un exemple.
La famille de polynômes

est échelonnée pour la valuation (en 0). Elle est donc libre.