Valeur d'adhérence unique

[mehdi-128]

Bonjour,

Je suis dans la démonstration de la propriété suivante mais je bloque sur certains points :
Si une suite bornée de réels admet une unique valeur d'adhérence l alors cette suite converge vers l.

Raisonnons par l'absurde.
Soit une suite bornée de réels admettant une unique valeur d'adhérence l.
Supposons que ne converge pas vers l alors :


Posons A l'ensemble :

A est de cardinal infini.
Je ne comprends pas pourquoi.

Soit une application strictement croissante.
L'application existe car A est une partie infinie de
Je comprends pas le rapport entre l'existence de sigma et A infini.


Là je pense que c'est parce que on a définit sigma de sorte que

Merci d'avance.

[Mimosa]

Bonjour

Pour chaque , il existe tel que . Ceci montre que est un ensemble d'entiers qui n'est pas borné, donc il est infini.
Une application strictement croissante est injective, donc son image, qui est contenue dans , est infinie.

[Ben314]

Salut,

Soit une application strictement croissante.
L'application existe car A est une partie infinie de
Je comprends pas le rapport entre l'existence de sigma et A infini.

Ca, c'est con comme la lune :
- Comme A est non vide, il existe un élément dans A.
- Comme A est non majoré, ne peut pas être un majorant de A donc il existe un dans A qui est .
- Comme A est non majoré, ne peut pas être un majorant de A donc il existe un dans A qui est .
- etc...

Le seul truc à comprendre (mais c'est une "évidence évidente"...) c'est que pour une partie de N, être finie ou bien être majoré, ben c'est exactement la même chose (donc être infinie et être non majorée, c'est la même chose)

[mehdi-128]

Merci pour vos réponses c'est plus clair !

[mehdi-128]

Par exemple on ne peut pas construire une application strictement croissante de dans car une application chaque élément de l'ensemble de départ doit avoir une image dans et donc forcément ils y aura 2 éléments entiers qui auront la même image donc l'application ne sera jamais strictement croissante.

C'est ça ?

[LB2]

C'est une façon de le montrer oui.
Strictement croissant implique injectif.
Par contraposée, ...